[해설] 가전 제품 보증 분석: 보증 청구 금액의 4번째 모멘트 차이 계산

안녕하세요! 가전 제품 보증 분석 해설입니다.

문제:보증 청구 금액의 4번째 모멘트 차이 계산

가전 제품의 보증 청구 금액은 구간 $[0, 12,000]$에서 균등 분포를 따릅니다. 분석가 $A$는 청구 금액을 1000으로 나눈 $( X )$를 보고합니다. 분석가$ B$는 $( X )$를 3의 배수로 내림한$ ( Y )$를 보고합니다.

$( X )$의 4번째 모멘트와 $( Y )$의 4번째 모멘트의 차이의 절대값을 계산하세요.

문제 풀이

1. $( X )$의 4번째 모멘트 계산

$X = $청구 금액 $/ 1000$

따라서 $( X )$는 $[0, 12]$ 구간에서 균등 분포를 따릅니다. 균등 분포에서 4번째 모멘트는 다음과 같이 계산됩니다:

• $\int_0^{12} \frac{x^4}{12} \, dx = \left. \frac{x^5}{60} \right|_0^{12} = \frac{12^5}{60} = \frac{248832}{60} = 4147.2$

따라서 $( X )$의 4번째 모멘트는 $4147.2$입니다.

2. $( Y )$의 확률 계산

$( Y )$는 $( X )$를 3의 배수로 내림한 값이므로 $( Y )$는 ${0, 3, 6, 9, 12}$ 중 하나입니다.

각 값의 확률을 계산합니다.

• $(Y = 0)$의 확률은 $(\frac{1}{5})$
• $(Y = 3)$의 확률은 $(\frac{1}{5})$
• $(Y = 6)$의 확률은 $(\frac{1}{5})$
• $(Y = 9)$의 확률은 $(\frac{1}{5})$
• $(Y = 12)$의 확률은 $(\frac{1}{5})$

3. $(Y)$의 4번째 모멘트 계산

• $E(Y^4) = \sum_{k=0,3,6,9,12} P(Y=k) \cdot k^4$

• $E(Y^4) = \left( \frac{1}{5} \times 0^4 \right) + \left( \frac{1}{5} \times 3^4 \right) + \left( \frac{1}{5} \times 6^4 \right) + \left( \frac{1}{5} \times 9^4 \right) + \left( \frac{1}{5} \times 12^4 \right)$

각 항의 값을 계산해보겠습니다.

4. 각 항 계산

$0^4 = 0$

$3^4 = 81$

$6^4 = 1296$

$9^4 = 6561$

$12^4 = 20736$

따라서,

• $E(Y^4) = \frac{1}{5} (0 + 81 + 1296 + 6561 + 20736) = \frac{1}{5} (28674) = 5734.8$

$(X)$와 $(Y)$의 4번째 모멘트 차이의 절대값 계산

• $|E(X^4) – E(Y^4)| = |4147.2 – 5734.8| = 1587.6$

따라서, $(X)$의 4번째 모멘트와 $(Y)$의 4번째 모멘트의 차이의 절대값은 약 1588 입니다.