[해설] 사망 보험금 분석: 공제액 적용 후 보험금 분산의 퍼센트 감소 계산

안녕하세요! 사망 보험금 분석 해설입니다.

문제:공제액 적용 후 보험금 분산의 퍼센트 감소 계산

한 생명보험 회사가 지급하는 사망 보험금은 지수 분포를 따릅니다. 회사는 공제액 $d$ 를 부과함으로써 예상 지급액을 $20\%$ 줄였습니다.

공제액이 적용된 후 사망 보험금 분산의 퍼센트 감소를 계산하세요.

문제 풀이

사망 보험금이 공제액 적용 전의 금액을 $X$ , 공제액 적용 후의 금액을 $Y$ 라고 합시다. $\lambda$ 를 $X$ 의 평균이라고 하면, $X$ 는 지수 분포를 따르므로 $\lambda^2$ 가 $X$ 의 분산입니다. 또한, $E(X^2) = 2\lambda^2$ 입니다.

지수 분포의 메모리리스 속성에 의해, 공제액 초과 부분의 조건부 분포는 평균이 $\lambda$ 인 지수 분포입니다. $E(Y) = 0.8\lambda$ 이라는 조건이 주어졌으므로, 이는 공제액을 초과하는 사망 보험금의 확률이 0.8임을 의미합니다. 따라서:

• $P(X > d) = 0.8$

즉, 사망 보험금이 공제액을 초과할 확률이 0.8입니다. 이를 통해 $E(Y) = 0.8\lambda$ 를 만족하게 됩니다.

이제 $Y$ 의 분산을 구해봅시다. $Y$ 의 분산은 다음과 같이 구할 수 있습니다:

• $E(Y^2) = 0.8 \cdot E(X^2 | X > d)$

지수 분포에서 공제액 $d$ 를 초과하는 금액의 기대값 $E(X | X > d) = \lambda + d$ 입니다. 따라서:

• $E(X^2 | X > d) = 2\lambda^2 + d^2$

이를 통해:

• $E(Y^2) = 0.8 \cdot (2\lambda^2 + d^2)$

하지만 $d$ 를 계산할 필요 없이, $\lambda d = -\ln(0.8)$ 임을 알고 있으므로 $d$ 를 다음과 같이 구할 수 있습니다:

• $d = \frac{-\ln(0.8)}{\lambda}$

따라서 $E(Y^2)$ 는 다음과 같습니다:

• $E(Y^2) = 0.8 \cdot 2\lambda^2 = 1.6\lambda^2$

이제 $Y$ 의 분산은 다음과 같이 계산됩니다:

• $\text{Var}(Y) = E(Y^2) – (E(Y))^2$

따라서:

• $\text{Var}(Y) = 1.6\lambda^2 – (0.8\lambda)^2 = 1.6\lambda^2 – 0.64\lambda^2 = 0.96\lambda^2$

사망 보험금 $X$ 의 원래 분산은 $\lambda^2$ 였으므로, 공제액 적용 후의 분산 감소율은 다음과 같습니다:

• $\frac{\lambda^2 – 0.96\lambda^2}{\lambda^2} \times 100\% = \frac{0.04\lambda^2}{\lambda^2} \times 100\% = 4\%$

따라서, 사망 보험금 분산의 퍼센트 감소는 $4\%$입니다.