[해설] 보험 손실 분석: 자동차 손실에 대한 기대 청구 금액 계산

안녕하세요! 보험 손실 분석 해설입니다.

문제:자동차 손실에 대한 기대 청구 금액 계산

한 보험 정책에서는 공제액이 3이고 최대 청구 금액이 8입니다. 손실 금액은 평균 4인 지수 분포를 따릅니다.

자동차 손실에 대해 기대 청구 금액을 계산하세요.

문제 풀이

지수 분포의 확률 밀도 함수는:

• $f(x) = \frac{1}{4} e^{-x/4}, \quad x > 0$

청구 금액 $( C )$는 다음과 같이 정의됩니다:

$C = \begin{cases} 0 & \text{if } L \leq 3 \\ L – 3 & \text{if } 3 < L \leq 8 \ \\ 5 & \text{if } L > 8 \ \end{cases}$

기대값 $E(C)$ 는 다음과 같습니다:

• $E(C) = \int_3^8 (x – 3) \frac{1}{4} e^{-x/4} \, dx + \int_8^\infty 5 \frac{1}{4} e^{-x/4} \, dx$

첫 번째 부분 계산:

부분적분을 사용하여 계산합니다:

• $\int_3^8 (x – 3) \frac{1}{4} e^{-x/4} \, dx = \left[ -(x – 3)e^{-x/4} \right]_3^8 + 4 \left[ -e^{-x/4} \right]_3^8$
  $= -5e^{-2} + 4 \left( -e^{-2} + e^{-3/4} \right)$
  $= -5e^{-2} – 4e^{-2} + 4e^{-3/4}$
  $= -9e^{-2} + 4e^{-3/4}$

두 번째 부분 계산:

• $\frac{5}{4} \int_8^\infty e^{-x/4} \, dx = 5e^{-2}$

전체 기대값 계산:

• $E(C) = -9e^{-2} + 4e^{-3/4} + 5e^{-2} = 4e^{-3/4} – 4e^{-2}$

따라서 자동차 손실에 대해 기대 청구 금액은 $4e^{-3/4} – 4e^{-2}$ 입니다