[해설] 농장 수확량 크기 예측 연습문제: 사과와 배의 합계 크기 공분산 계산

안녕하세요! 농장 수확량 크기 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 사과와 배의 합계 크기 공분산 계산

한 농장에서 $X$는 수확된 사과의 크기를 나타내고 $Y$는 수확된 배의 크기를 나타냅니다. 농장주는 다음 모델을 사용합니다:

$$E(X) = 3, \, E(X^2) = 13, \, E(Y) = 4, \, E(Y^2) = 25, \, \text{Var}(X + Y) = 5$$

$C_1 = X + Y$를 사과와 배의 합계 크기로 정의하고, $C_2$를 배의 크기에 $10\%$ 할증을 적용한 후의 합계 크기로 정의합니다.

$\text{Cov}(C_1, C_2)$ 를 계산하시오.

문제 풀이

1. 분산 계산:

• $\text{Var}(X) = E(X^2) – (E(X))^2 = 13 – 3^2 = 13 – 9 = 4$
• $\text{Var}(Y) = E(Y^2) – (E(Y))^2 = 25 – 4^2 = 25 – 16 = 9$

2. 공분산 계산:

• $\text{Cov}(X, Y) = \frac{\text{Var}(X + Y) – \text{Var}(X) – \text{Var}(Y)}{2} = \frac{5 – 4 – 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

3. 공분산 \text{Cov}(C_1, C_2) 계산:

$C_1 = X + Y$, $C_2 = X + 1.1Y$

• $\text{Cov}(C_1, C_2) = \text{Cov}(X + Y, X + 1.1Y)$
• $= \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, 1.1Y) + \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, 1.1Y)$
• $= \text{Var}(X) + 1.1\text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) + 1.1\text{Var}(Y)$
• $= \text{Var}(X) + 1.1\text{Var}(Y) + 2.1\text{Cov}(X, Y)$

값을 대입하면,

• $4 + 1.1 \cdot 9 + 2.1 \cdot (-4)$
• $= 4 + 9.9 – 8.4$
• $= 5.5$

결론적으로, $\text{Cov}(C_1, C_2) = 5.5$ 입니다.