[해설] 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 학생 그룹별 학업 성취 저하 확률 분석

안녕하세요! 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:학생 그룹별 학업 성취 저하 확률 분석

한 교육 연구가 다양한 연령대의 학생들이 1년 동안 적어도 한 번 학업 성취가 떨어지는 사건을 겪을 가능성을 연구했습니다. 연구 결과는 다음과 같습니다:

학생 그룹	전체 학생 대비 비율	적어도 한 번의 학업성취 저하 확률
초등학생	8%	0.15
중학생	16%	0.08
고등학생	45%	0.04
대학생	31%	0.05
합계	100%	–

지난 1년 동안 적어도 한 번 학업 성취가 저하된 학생이 무작위로 선택되었다고 할 때, 이 학생이 중학생일 확률을 계산하십시오.(소수점 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

각 학생 그룹별 학업 성취 저하 확률 계산:

• 초등학생의 학업 성취 저하 확률: $0.08 \times 0.15 = 0.012$
• 중학생의 학업 성취 저하 확률:$ 0.16 \times 0.08 = 0.0128$
• 고등학생의 학업 성취 저하 확률: $0.45 \times 0.04 = 0.018$
• 대학생의 학업 성취 저하 확률:$ 0.31 \times 0.05 = 0.0155$

전체 학업 성취 저하 확률 계산 (모든 그룹 합산):

• $P(\text{Academic Decline}) = 0.012 + 0.0128 + 0.018 + 0.0155 = 0.0583$

중학생이 학업 성취 저하에 연루될 조건부 확률 계산:

• $P(\text{Middle School} \mid \text{Academic Decline}) = \frac{0.0128}{0.0583} \approx 0.2196$

따라서 학업 성취가 저하된 학생이 중학생일 확률은 약 0.22입니다.