[해설] 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제: 체질량 지수와 피로도의 상관관계 분석

글쓴이:Issac Lee 마지막 수정일:

안녕하세요! 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:체질량 지수와 피로도의 상관관계 분석

의사는 환자들의 체질량 지수(BMI; 저체중, 정상, 과체중)와 피로도(정상, 높음)를 연구하고 있습니다. 그는 무작위로 선택한 환자들을 검사하고 다음과 같은 데이터를 기록했습니다:

  1. 14%는 과체중입니다.
  2. 22%는 저체중입니다.
  3. 15%는 피로도가 높습니다.
  4. 피로도가 높은 사람 중 1/3은 과체중입니다.
  5. 정상 체중을 가진 사람 중 1/8은 피로도가 높습니다.

선택된 환자들 중에서 저체중이면서 정상 피로도를 가진 사람의 비율을 계산하십시오.

사건 정의 (Event Definition)

  • 체중 BMI (Body Mass Index)
    • $U$: 저체중 (Underweight)
    • $N$: 정상 체중 (Normal Weight)
    • $O$: 과체중 (Overweight)
  • 피로도 레벨
    • $H$: 피로도 높음 (High Fatigue)
    • $L$: 피로도 정상 (Low/Normal Fatigue)

문제 정보 요약 (Given Information)

  • $P(O) = 0.14$
  • $P(U) = 0.22$
  • $P(H) = 0.15$
  • $P(O \mid H) = \frac{1}{3}$
  • $P(H \mid N) = \frac{1}{8}$

문제 풀이

Step 1: 정상 체중 확률 $P(N)$ 계산

전체 확률의 합은 1이므로 다음과 같이 계산합니다.

P(N)=1−P(O)−P(U)=1−0.14−0.22=0.64\begin{aligned} P(N)&=1 – P(O) – P(U) \ &=1 – 0.14 – 0.22 = 0.64 \end{aligned}

Step 2: 정상 체중이면서 피로도가 높은 확률 $P(H \cap N)$ 계산

조건부 확률 공식 $P(A \cap B) = P(A \mid B)P(B)$를 이용합니다.

P(H∩N)=P(H|N)×P(N)=18×0.64=0.08\begin{aligned} P(H \cap N) &= P(H \mid N) \times P(N) \ &= \frac{1}{8} \times 0.64 = 0.08 \end{aligned}

Step 3: 저체중이면서 피로도가 높은 확률 $P(H \cap U)$ 계산

먼저 과체중이면서 피로도가 높은 확률 $P(H \cap O)$를 구한 뒤, 전체 피로도 확률에서 나머지를 제외합니다.

P(H∩O)=P(O|H)×P(H)=13×0.15=0.05\begin{aligned} P(H \cap O) &= P(O \mid H) \times P(H) \ &= \frac{1}{3} \times 0.15 = 0.05 \end{aligned}
P(H∩U)=P(H)−P(H∩O)−P(H∩N)=0.15−0.05−0.08=0.02\begin{aligned} P(H \cap U) &= P(H) – P(H \cap O) – P(H \cap N) \ &= 0.15 – 0.05 – 0.08 = 0.02 \end{aligned}

Step 4: 정상 피로도와 저체중일 확률 $P(L \cap U)$ 계산

저체중인 전체 확률에서 저체중이면서 피로도가 높은 확률을 제외합니다.

P(L∩U)=P(U)−P(H∩U)=0.22−0.02=0.20\begin{aligned} P(L \cap U) &= P(U) – P(H \cap U) \ &= 0.22 – 0.02 = 0.20 \end{aligned}

따라서, 정상 피로도와 저체중을 가진 환자의 비율은 20% 입니다.

BMI 및 피로도 분할표 (Contingency Table)

이 문제는 다음과 같은 분할표를 시작부터 그려놓고 푸는게 훨씬 쉽게 풀립니다. 참고하세요.

피로도 \ BMI저체중 (U)정상 체중 (N)과체중 (O)합계 (Marginal)
높음 ($H$)$0.15$
정상 ($L$)??
합계 (Marginal)$0.22$$0.14$$1.00$

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