[해설] 연간 강우량 예측 연습문제: 기록된 연간 강우량의 중간값 계산

안녕하세요! 연간 강우량 예측 연습문제 해설입니다.

문제:기록된 연간 강우량의 중간값 계산

한 연구소는 기후 변화로 인해 특정 지역에서 발생하는 연간 강우량 $X$를 추정하려고 합니다. 강우량 $X$는 다음의 확률 밀도 함수에 따라 분포합니다:

$f(x) = \begin{cases} ke^{-0.005x}, & x \geq 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $k$ 는 상수입니다. 연구소는 연간 최대 600mm의 강우량을 기록할 수 있습니다.

이 연구소에서 기록되는 연간 강우량의 중간값을 계산하세요.

문제 풀이

1. 상수 #$k$ 계산

확률 밀도 함수는 전체 영역에서 적분했을 때 1이 되어야 합니다.

$\int_0^{600} ke^{-0.005x} \, dx = 1$

적분을 계산합니다:

$k \left[ -\frac{1}{0.005} e^{-0.005x} \right]_0^{600} = 1$

$k \left[ -200 e^{-0.005 \cdot 600} + 200 \right] = 1$

$k \left[ -200 e^{-3} + 200 \right] = 1$

$k \left[ 200 (1 – e^{-3}) \right] = 1$

$k = \frac{1}{200 (1 – e^{-3})}$

2. 중간값 계산

중간값 $m$ 은 다음 조건을 만족하는 값입니다.

$\int_0^m f(x) \, dx = 0.5$

$\int_0^m k e^{-0.005x} \, dx = 0.5$

이 식을 적분하면:

$k \left[ -\frac{1}{0.005} e^{-0.005x} \right]_0^m = 0.5$

$k \left[ -200 e^{-0.005m} + 200 \right] = 0.5$

$k \cdot 200 (1 – e^{-0.005m}) = 0.5$

$\frac{1}{200 (1 – e^{-3})} \cdot 200 (1 – e^{-0.005m}) = 0.5$

$\frac{1 – e^{-0.005m}}{1 – e^{-3}} = 0.5$

$1 – e^{-0.005m} = 0.5 (1 – e^{-3})$

$e^{-0.005m} = 1 – 0.5 (1 – e^{-3})$

$e^{-0.005m} = 0.5 (1 + e^{-3})$

$-0.005m = \ln(0.5 (1 + e^{-3}))$

$m = -\frac{1}{0.005} \ln(0.5 (1 + e^{-3}))$

$m = -200 \ln(0.5 (1 + e^{-3}))$

이 값을 계산하면:

$m = -200 \ln(0.5 \cdot (1 + e^{-3})) \approx 138$

따라서, 정답은 138입니다.