[해설] 게임 사용 시간 예측 연습문제: 총 게임 시간이 구독료를 초과할 확률 계산

안녕하세요! 게임 사용 시간 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 총 게임 시간이 구독료를 초과할 확률 계산

한 게임 회사는 새로운 게임의 사용자들이 일주일 동안 게임에 소비하는 총 시간이 다음 밀도 함수로 분포한다고 가정합니다:

$f(x) = \frac{1}{50} e^{-(x/50)}, \quad x > 0$

게임 구독 요금은 예상 총 게임 시간에 10을 더한 시간으로 설정됩니다.

150명의 사용자가 구독한 경우, 게임 회사가 받은 구독료를 초과하는 총 게임 시간이 될 확률을 근사적으로 계산하세요.

문제 풀이

한 사용자가 게임에 소비하는 총 시간은 지수 분포를 따릅니다. 지수 분포의 평균은 다음과 같습니다:

$E(X) = 50$시간

구독 요금은 예상 총 게임 시간에 10을 더한 시간으로 설정됩니다. 따라서, 구독 요금은 다음과 같습니다:

구독 요금$ = 50 + 10 = 60$시간

150명의 사용자가 구독했을 때, 총 게임 시간 ($S$)는 각각의 개별 게임 시간의 합으로 표현될 수 있습니다. 이 합은 평균이 ($50 \times 150 = 7500$) 시간이고, 표준 편차가 ($\sqrt{50^2 \times 150} = 500$) 시간인 정규 분포로 근사할 수 있습니다.

$S \sim N(7500, 500^2)$

구독료 총액 ($T$)는 다음과 같이 계산됩니다:

$T = 150 \times 60 = 9000$ 시간

총 게임 시간 ($S$)가 총 구독료 ($T$)를 초과할 확률을 계산하려면 $P(S > 9000)$을 구해야 합니다.

이를 위해, 정규 분포의 표준화 변환을 사용합니다:

$Z = \frac{S – 7500}{500}$

따라서,

$P(S > 9000) = P\left(Z > \frac{9000 – 7500}{500}\right) = P(Z > 3)$

표준 정규 분포에서 Z = 3에 해당하는 누적 분포 함수 값 (CDF)은 약 0.9987입니다.

따라서,

$P(Z > 3) = 1 – P(Z \leq 3) = 1 – 0.9987 = 0.0013$

따라서, 게임 회사가 받은 구독료를 초과하는 총 게임 시간이 될 확률은 약 0.0013 입니다.