[해설] 제품 결함 분석: 분포의 최빈값 계산

안녕하세요! 제품 결함 분석 해설입니다.

문제:분포의 최빈값 계산

어떤 제품의 결함 확률 밀도 함수 $( f(x) )$는 다음과 같이 비례합니다:

• $f(x) \propto x e^{-x^3}, \quad 0 < x < 2 \quad \text{and} \quad 0 \quad \text{otherwise}$

이 분포의 최빈값(mode)을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

최빈값(mode)은 확률 밀도 함수 $( f(x) $)가 최대가 되는 $( x )$ 값입니다.

1. 밀도 함수의 형태

$( f(x) \propto x e^{-x^3} )$ 이므로, 비례 상수를 무시하고 함수 $( g(x) = x e^{-x^3} )$의 최대값을 구합니다.

2. 함수 $( g(x) )$의 극대값 찾기
$( g(x) )$의 극대값을 찾기 위해 $( g(x) )$를 미분하고, 그 도함수가 0이 되는 값을 찾습니다.

• $g(x) = x e^{-x^3}$

이를 미분합니다:

• $g{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( x e^{-x^3} \right)$

곱의 미분 법칙을 사용하면:

• $g{\prime}(x) = e^{-x^3} + x \left( -3x^2 e^{-x^3} \right)$
  
  $g{\prime}(x) = e^{-x^3} – 3x^3 e^{-x^3}$
  
  $g{\prime}(x) = e^{-x^3} (1 – 3x^2)$

이 도함수가 0이 되는 값을 찾습니다.

• $e^{-x^3} (1 – 3x^2) = 0$

$( e^{-x^3} )$는 항상 0이 아니므로,

• $1 – 3x^2 = 0$
  
  $3x^2 = 1$
  
  $x^2 = \frac{1}{3}$
  
  $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

3. 두 번째 도함수로 극대값 확인

$( g’’(x) )$를 계산하여 $( x = \frac{1}{\sqrt{3}} )$에서 $( g(x) )$가 극대값인지 확인합니다.

• $g{\prime}{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x^3} (1 – 3x^2) \right)$

두 번째 도함수를 계산하면 $( x = \frac{1}{\sqrt{3}} )$에서 $g{\prime}{\prime}(x) < 0 $임을 확인하면, 이는 극대값임을 의미합니다.

따라서, 제품의 결함 확률 분포의 최빈값(mode)은 $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ 입니다.