[해설] 농장 병충해 분석: 4주 동안 병충해에 걸린 나무가 3개 이하일 확률 계산

안녕하세요! 농장 병충해 분석 해설입니다.

문제:4주 동안 병충해에 걸린 나무가 3개 이하일 확률 계산

한 제약 회사는 신약 임상 시험을 진행 중입니다.피험자들이 부작용을 보고할 확률은 다음과 같

한 농장에서는 매주 평균 2개의 사과 나무가 병충해에 걸립니다. 주마다 병충해에 걸리는 나무의 수는 서로 독립적입니다.

총 4주 동안 병충해에 걸리는 사과 나무가 3개 이하일 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1주 동안 병충해에 걸리는 사과 나무의 평균 $(\lambda)$는 2입니다. 따라서 4주 동안의 평균 발생률은:

• $\lambda_{4weeks} = 4 \times 2 = 8$

우리는 4주 동안 병충해에 걸리는 사과 나무의 수가 3개 이하일 확률을 구해야 합니다:

• $P(X \leq 3)$

포아송 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다:

• $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

여기서 $(\lambda = 8)$이고 $(k)$는 발생 횟수입니다.

3개 이하의 확률을 구하기 위해 $(k = 0)$부터 $(k = 3)$까지의 확률을 모두 더해야 합니다.

• $P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} P(X = k)$

이를 계산하기 위해 각 $(P(X = k))$를 구하고 합산합니다.

1. $(P(X = 0))$:

• $P(X = 0) = \frac{8^0 e^{-8}}{0!} = e^{-8}$

2. $(P(X = 1))$:

• $P(X = 1) = \frac{8^1 e^{-8}}{1!} = 8 e^{-8}$

3. $(P(X = 2))$:

• $P(X = 2) = \frac{8^2 e^{-8}}{2!} = \frac{64 e^{-8}}{2} = 32 e^{-8}$

4. $(P(X = 3))$:

• $P(X = 3) = \frac{8^3 e^{-8}}{3!} = \frac{512 e^{-8}}{6} = 85.33 e^{-8}$

따라서,

• $P(X \leq 3) = e^{-8} \left( \frac{8^0}{0!} + \frac{8^1}{1!} + \frac{8^2}{2!} + \frac{8^3}{3!} \right)$
  
  $= e^{-8} \left( 1 + 8 + 32 + 85.33 \right)$
  
  $= e^{-8} \times 126.33$

이므로 $P(X \leq 3)$ 는 다음과 같이 계산합니다.

• $P(X \leq 3) \approx 126.33 \times e^{-8} \approx 126.33 \times 0.000335 \approx 0.0423$

따라서 4주 동안 병충해에 걸리는 사과 나무의 수가 3개 이하일 확률은 약 0.04입니다.