[해설] 주사위 이벤트 독립성 분석: 이벤트 X, Y, Z의 독립성 여부 결정

안녕하세요! 주사위 이벤트 독립성 분석 해설입니다.

문제:이벤트 X, Y, Z의 독립성 여부 결정

두 개의 공정한 주사위, 하나는 검정색이고 하나는 흰색입니다.

• 이벤트 X : 검정색 주사위에서 나온 숫자가 3보다 큼.
• 이벤트 Y : 흰색 주사위에서 나온 숫자가 4보다 큼.
• 이벤트 Z : 두 주사위에서 나온 숫자의 합이 8보다 큼.

다음 중 올바른 것을 고르세요.

(A) X , Y , Z 는 상호 독립적이지 않지만, 각 쌍은 독립적이다.
(B) X , Y , Z 는 상호 독립적이다.
(C) 세 이벤트 중 하나의 쌍만 독립적이다.
(D) 세 이벤트 중 두 쌍이 독립적이다.

문제 풀이

이벤트의 정의

• $( X )$: 검정색 주사위에서 나온 숫자가 3보다 큼 (즉, 4, 5, 6).
• $( Y )$: 흰색 주사위에서 나온 숫자가 4보다 큼 (즉, 5, 6).
• $( Z )$: 두 주사위에서 나온 숫자의 합이 8보다 큼 (즉, 합이 9, 10, 11, 12).

확률 계산

먼저 각 이벤트의 확률을 계산합니다:

• $ P(X) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
• $P(Y) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
• $P(Z)$ : 두 주사위의 합이 8보다 큼.

가능한 조합은 다음과 같습니다:

• $(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$

따라서 가능한 조합의 수는 10개입니다. 모든 조합의 수는 36개이므로:

• $P(Z) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

이벤트 쌍의 독립성 확인

$( X )$와 $( Y )$의 독립성 확인

• $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y) = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{6}$

검정색 주사위와 흰색 주사위는 독립적이므로,

• $P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$

따라서, $( X )$와 $( Y )$는 독립입니다.

$( X )$와 $( Z )$의 독립성 확인

• $P(X \cap Z) = P(X) \cdot P(Z) = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{5}{18} \right) = \frac{5}{36}$

$( X \cap Z )$: 검정색 주사위가 4, 5, 6 중 하나이고, 두 주사위의 합이 8보다 큼.

• 검정색 주사위가 4인 경우: 흰색 주사위가 5, 6.
• 검정색 주사위가 5인 경우: 흰색 주사위가 4, 5, 6.
• 검정색 주사위가 6인 경우: 흰색 주사위가 3, 4, 5, 6.

따라서 가능한 조합의 수는:

$(4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$로 총 9개입니다.

• $P(X \cap Z) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

• $P(X) \cdot P(Z) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{18} = \frac{5}{36}$

그러므로 $X $와 $Z $는 독립이 아닙니다.

$( Y )$와 $( Z )$의 독립성 확인

• $P(Y \cap Z) = P(Y) \cdot P(Z) = \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{5}{18} \right) = \frac{5}{54}$

$( Y \cap Z )$: 흰색 주사위가 5 또는 6이고, 두 주사위의 합이 8보다 큼.

• 흰색 주사위가 5인 경우: 검정색 주사위가 4, 5, 6.
• 흰색 주사위가 6인 경우: 검정색 주사위가 3, 4, 5, 6.

따라서 가능한 조합의 수는:

$(4, 5), (5, 5), (6, 5), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)$로 총 7개입니다.

• $P(Y \cap Z) = \frac{7}{36}$

• $P(Y) \cdot P(Z) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{18} = \frac{5}{54}$

그러므로 $Y$와 $Z$ 는 독립이 아닙니다.

따라서 정답은 $(A)$입니다.