[해설] 약물 효능 기간 분석: 분포의 최빈값 계산

안녕하세요! 약물 효능 기간 분석 해설입니다.

문제:분포의 최빈값 계산

특정 약물의 효능 기간은 확률 밀도 함수 $f(x)$로 주어지며, $f(x)$ 는 다음과 같이 비례합니다:

• $f(x) \propto \frac{x^2}{1 + x^4}, \quad 0 < x < 10 \quad \text{and} \quad 0 \quad \text{otherwise}$

이 분포의 최빈값(mode)을 계산하세요.

문제 풀이

최빈값(mode)은 확률 밀도 함수 $( f(x) )$가 최대가 되는 $( x )$ 값입니다.

1. 밀도 함수의 형태

$( f(x) \propto \frac{x^2}{1 + x^4} )$ 이므로, 비례 상수를 무시하고 함수 $( g(x) = \frac{x^2}{1 + x^4} )$의 최대값을 구합니다.

2. 함수 $( g(x) )$의 극대값 찾기
$( g(x) )$의 극대값을 찾기 위해 $( g(x) )$를 미분하고, 그 도함수가 0이 되는 값을 찾습니다.

• $f{\prime}(x) = c \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{1 + x^4} \right)$

분수의 미분 법칙을 사용하면:

• $f{\prime}(x) = c \cdot \left[ \frac{(1 + x^4) \cdot 2x – x^2 \cdot 4x^3}{(1 + x^4)^2} \right] = c \cdot \left[ \frac{2x + 2x^5 – 4x^5}{(1 + x^4)^2} \right] = c \cdot \left[ \frac{2x – 2x^5}{(1 + x^4)^2} \right]$

이 도함수가 0이 되는 값을 찾습니다.

• $c \cdot \left[ \frac{2x – 2x^5}{(1 + x^4)^2} \right] = 0 \implies 2x – 2x^5 = 0$
  $x(2 – 2x^4) = 0$

따라서, $( x = 0 )$ 또는 $( 2 – 2x^4 = 0 )$입니다.
$( x = 0 )$은 주어진 구간 $( 0 < x < 10 )$에 포함되지 않으므로:

• $2 = 2x^4 \implies x^4 = 1 \implies x = 1$
  

3. 두 번째 도함수로 극대값 확인
$( f’’(x) )$를 계산하여 $( x = 1 )$에서 $( f(x) )$가 극대값인지 확인합니다.

• $f{\prime}{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( c \cdot \frac{2x – 2x^5}{(1 + x^4)^2} \right)$

두 번째 도함수를 풀면, $( x = 1 )$에서 $( f’’(x) < 0 )$인 것을 확인하면, 이는 극대값임을 의미합니다.

결론

따라서, 약물의 효능 기간의 최빈값(mode)은 $x = 1$ 입니다.