[해설] 문제 풀이 분석: 철수가 영희보다 적은 문제를 풀 확률 계산

안녕하세요! 문제 풀이 분석 해설입니다.

문제:철수가 영희보다 적은 문제를 풀 확률 계산

학생들이 과제를 해결하는 두 그룹이 있습니다: 쉬운 문제를 푸는 그룹과 어려운 문제를 푸는 그룹. 학생 철수는 쉬운 문제를 풀며, 첫 번째로 틀린 문제를 만날 때까지 계속해서 문제를 풉니다. 학생 영희는 어려운 문제를 같은 방식으로 풉니다. 각각의 쉬운 문제는 틀릴 확률이 15%입니다. 각각의 어려운 문제는 틀릴 확률이 25%입니다. 문제들의 정답 여부는 서로 독립적입니다.

철수가 영희보다 적은 문제를 풀 확률을 계산하세요.

문제 풀이

• 철수가 푸는 쉬운 문제의 오답 확률 $p = 0.15$
• 영희가 푸는 어려운 문제의 오답 확률 $p = 0.25$

푼 문제의 수는 기하분포를 따릅니다.

• 철수의 경우, $X$ 가 철수가 푸는 문제의 수라 하면 $X$ 는 기하분포를 따르고, 매개변수 $p = 0.15$ 입니다.
• 영희의 경우, $Y$ 가 영희가 푸는 문제의 수라 하면 $Y$ 는 기하분포를 따르고, 매개변수 $p = 0.25$ 입니다.

기하분포의 확률 질량 함수$(PMF)$는 다음과 같습니다:

• $P(X = k) = (1 – p)^{k-1} p$

철수의 경우:

• $P(X = k) = (0.85)^{k-1} \cdot 0.15$

영희의 경우:

• $P(Y = k) = (0.75)^{k-1} \cdot 0.25$

철수가 영희보다 적은 문제를 풀 확률, 즉 $P(X < Y)$ 를 구해야 합니다.

이를 계산하기 위해, $X < Y$ 인 경우의 결합 확률을 합산합니다:

$P(X < Y) = \sum_{i=1}^{\infty} P(X = i) \sum_{j=i+1}^{\infty} P(Y = j)$

이제 이를 단계별로 계산해봅시다.

1. $P(Y > k)$ 를 계산합니다:

• $P(Y > k) = \sum_{j=k+1}^{\infty} (0.75)^{j-1} \cdot 0.25 = 0.25 \sum_{j=k+1}^{\infty} (0.75)^{j-1}$

무한 등비급수의 합 공식을 사용하면:

• $\sum_{j=k+1}^{\infty} (0.75)^{j-1} = \frac{(0.75)^k}{1 – 0.75} = \frac{(0.75)^k}{0.25}$

따라서,

• $P(Y > k) = 0.25 \cdot \frac{(0.75)^k}{0.25} = (0.75)^k$

2. 이제 $P(X < Y)$ 를 계산합니다:

• $P(X < Y) = \sum_{i=1}^{\infty} (0.85)^{i-1} \cdot 0.15 \cdot (0.75)^I$

3. 합을 단순화합니다:

• $P(X < Y) = 0.15 \sum_{i=1}^{\infty} (0.85)^{i-1} \cdot (0.75)^I$
• $= 0.15 \cdot 0.75 \sum_{i=1}^{\infty} (0.85 \cdot 0.75)^{i-1}$
• $= 0.1125 \sum_{i=1}^{\infty} (0.6375)^{i-1}$

무한 등비급수의 합 공식은 다음과 같습니다:

• $\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r}$

따라서,

• $\sum_{i=1}^{\infty} (0.6375)^{i-1} = \frac{1}{1 – 0.6375} = \frac{1}{0.3625} \approx 2.7586$

최종적으로,

• $P(X < Y) = 0.1125 \cdot 2.7586 \approx 0.3108$

따라서, 철수가 영희보다 적은 문제를 풀 확률은 약 0.31 입니다.