[해설] 농장 판매 예측 연습문제: 프리미엄 과일 상자 및 특별 패키지 판매 고려한 분산 계산

안녕하세요! 농장 판매 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 프리미엄 과일 상자 및 특별 패키지 판매 고려한 분산 계산

한 농장에서는 하루에 0, 1 또는 2개의 프리미엄 과일 상자를 판매합니다. 과일 상자를 판매할 때, 농장 주인은 고객에게 특별 패키지를 구매하도록 권장합니다. $X$는 주어진 날에 판매된 프리미엄 과일 상자의 수를 나타내고, $Y$는 판매된 특별 패키지의 수를 나타냅니다.

다음 확률이 주어졌습니다:
$$P[X = 0, Y = 0] = \frac{1}{7} , P[X = 1, Y = 0] = \frac{1}{14}$$
$$P[X = 1, Y = 1] = \frac{1}{7}, P[X = 2, Y = 0] = \frac{1}{14}$$
$$P[X = 2, Y = 1] = \frac{3}{14}, P[X = 2, Y = 2] = \frac{2}{7}$$

$X$의 분산을 계산하시오.

문제 풀이

1. $X$의 각 확률 구하기

• $P(X = 0) = \frac{1}{7}$
• $P(X = 1) = \frac{1}{14} + \frac{1}{7} = \frac{1}{14} + \frac{2}{14} = \frac{3}{14}$
• $P(X = 2) = \frac{1}{14} + \frac{3}{14} + \frac{2}{7} = \frac{1}{14} + \frac{3}{14} + \frac{4}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

2. $E(X)$ 계산하기

• $E(X) = 0 \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{3}{14} + 2 \cdot \frac{4}{7} = 0 + \frac{3}{14} + \frac{8}{7} = \frac{3}{14} + \frac{16}{14} = \frac{19}{14}$

3. $E(X^2)$ 계산하기

• $E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{7} + 1^2 \cdot \frac{3}{14} + 2^2 \cdot \frac{4}{7} = 0 + 1 \cdot \frac{3}{14} + 4 \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{14} + \frac{16}{7} = \frac{3}{14} + \frac{32}{14} = \frac{35}{14}$

4. $Var(X)$ 계산하기

• $Var(X) = E(X^2) – (E(X))^2 = \frac{35}{14} – \left(\frac{19}{14}\right)^2 = \frac{35}{14} – \frac{361}{196}$
• $= \frac{35 \cdot 14}{14 \cdot 14} – \frac{361}{196} = \frac{490}{196} – \frac{361}{196} = \frac{129}{196}$

• $Var(X) \approx 0.658$

따라서, $X$ 의 분산은 약 0.66 입니다.