[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제: 자동차 보험의 공제액 적용 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 자동차 보험의 공제액 적용 분석

자동차 보험회사는 고객의 연간 청구 손해액$(X)$이 다음과 같은 밀도 함수 $f(x)$ 를 따르는 것으로 가정합니다.

$f(x) = \begin{cases}\frac{2.5(0.6)^{2.5}}{x^{3.5}} & \text{if } x > 0.6 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$

손해를 보상하기 위해, 고객은 연간 공제액 2가 있는 보험에 가입합니다.

보험회사가 보상하지 않는 고객의 연간 청구 손해액의 평균을 계산하십시오.

문제 풀이

고객이 연간 공제액 2가 있는 보험에 가입하였으므로, 보험회사가 보상하지 않는 손해액의 평균을 계산해야 합니다. 고객이 보상받지 않는 손해액은 $ X \leq 2 $인 경우입니다.

보험회사가 보상하지 않는 손해액의 평균을 계산하기 위해 $E[Y]$를 구해야 합니다. 여기서 $Y = X $이고 $0.6 \leq X \leq 2 $입니다. 따라서 다음과 같은 적분을 계산합니다:

• $E[Y] = \int_{0.6}^{2} y f(y) \, dy$
• $f(y) = \frac{2.5(0.6)^{2.5}}{y^{3.5}}$

따라서:

• $E[Y] = \int_{0.6}^{2} y \cdot \frac{2.5(0.6)^{2.5}}{y^{3.5}} \, dy$
• $= 2.5(0.6)^{2.5} \int_{0.6}^{2} y^{-2.5} \, dy$

적분을 풀면:

• $\int y^{-2.5} \, dy = \left[ -\frac{2}{3} y^{-1.5} \right]_{0.6}^{2}$

이를 $( 0.6 )$에서 $2$ 까지 적분하여 대입하면:

• $E[Y] = 2.5(0.6)^{2.5} \left( -\frac{2}{3} \left( 2^{-1.5} – 0.6^{-1.5} \right) \right)$

계산을 통해:

• $2^{-1.5} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
• $0.6^{-1.5} = \frac{1}{0.6^{1.5}}$

이 값을 대입하여 정리하면:

• $E[Y] = 2.5(0.6)^{2.5} \left( \frac{-2 \cdot 2^{-1.5}}{3} + \frac{2 \cdot 0.6^{-1.5}}{3} \right)$

최종적으로:

• $E[Y] = 2.5(0.6)^{2.5} \left( \frac{-2}{3 \cdot 2^{1.5}} + \frac{2}{3 \cdot 0.6^{1.5}} \right)$

결과적으로:

• $E[Y] \approx 0.9343$

따라서 보험회사가 보상하지 않는 고객의 연간 청구 손해액의 평균은 약 0.93입니다.