[해설] 베르누이 과정을 이용한 기대 보너스 계산 연습문제: 프로젝트 완료 시기별 보상 분석

안녕하세요! 베르누이 과정을 이용한 기대 보너스 계산 연습문제 해설입니다.

문제:프로젝트 완료 시기별 보상 분석

한 학생이 학업 지원금을 신청했습니다. 학업 지원금의 지급 여부는 다음과 같은 확률 분포를 따릅니다. 학업 지원금은 첫 10년 동안만 유효하며, 평균 10년 후에 학업을 마칩니다. 첫 1년 이내에 학업을 마치면 $x$만큼의 지원금을 지급하고, 2년차 또는 3년차에 마치면 0.5$x$만큼의 지원금을 지급합니다. 3년 이후에 학업을 마치면 지원금은 지급되지 않습니다.

이 학업 지원금의 기대 지급액이 1000이 되도록 하는 $x$ 값을 계산하세요.

문제 풀이

먼저 각 연도에 프로젝트를 완료할 확률과 보너스를 정리해 보겠습니다.

• 첫 해에 완료: 보너스 4000, 확률 0.4
• 두 번째 해에 완료: 보너스 3000, 확률 0.4 (첫 해에 완료하지 못한 경우)
• 세 번째 해에 완료: 보너스 2000, 확률 0.4 (첫 해와 두 번째 해에 완료하지 못한 경우)
• 네 번째 해에 완료: 보너스 1000, 확률 0.4 (첫 해, 두 번째 해, 세 번째 해에 완료하지 못한 경우)
• 다섯 번째 해에 완료: 보너스 0, 확률 0.4 (첫 해, 두 번째 해, 세 번째 해, 네 번째 해에 완료하지 못한 경우)

각 연도별 완료 확률 계산

각 연도에 완료할 확률은 다음과 같습니다:

• 첫 해: $P_1 = 0.4$
• 두 번째 해: $P_2 = (1 – 0.4) \times 0.4 = 0.6 \times 0.4 = 0.24$
• 세 번째 해: $P_3 = (1 – 0.4)^2 \times 0.4 = 0.6^2 \times 0.4 = 0.36 \times 0.4 = 0.144$
• 네 번째 해: $P_4 = (1 – 0.4)^3 \times 0.4 = 0.6^3 \times 0.4 = 0.216 \times 0.4 = 0.0864$
• 다섯 번째 해: $P_5 = (1 – 0.4)^4 \times 0.4 = 0.6^4 \times 0.4 = 0.1296 \times 0.4 = 0.05184$

기대 보너스 계산

기대 보너스 E는 다음과 같이 계산됩니다:

• $E = 4000 \times P_1 + 3000 \times P_2 + 2000 \times P_3 + 1000 \times P_4 + 0 \times P_5$
• $E = 4000 \times 0.4 + 3000 \times 0.24 + 2000 \times 0.144 + 1000 \times 0.0864 + 0 \times 0.05184$
• $E = 1600 + 720 + 288 + 86.4 + 0$
• $E = 2694.4$

따라서, 기대 보너스는 2694 입니다.