[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제: 연간 판매 금액의 조건부 확률 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:연간 판매 금액의 조건부 확률 분석

한 식품 회사는 소규모 매장에서 발생하는 연간 판매량을 보장하는 그룹 보험 정책을 제공합니다. 1년 동안 발생하는 판매 금액 $V$는 다음과 같이 설명됩니다:

$V = 100,000Y$

여기서 $Y$는 확률 밀도 함수 $f(y)$를 가지는 확률 변수입니다:

$f(y) =\begin{cases}k(1 – y)^4, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$

여기서 $k$는 상수입니다.

$V$가 10,000을 초과한다는 조건 하에$V$가 40,000을 초과할 조건부 확률을 계산하세요.

(소수점 셋째 자리에서 반올림하세요.)

문제 풀이

1.정규화 상수 $k$ 계산:
$f(y)$가 확률 밀도 함수이므로, $0 < y < 1$에서의 적분 값이 1이어야 합니다.

• $\int_0^1 k(1 – y)^4 \, dy = 1$

적분을 계산하면:

• $k \int_0^1 (1 – y)^4 \, dy = k \left[ \frac{(1 – y)^5}{5} \right]_0^1 = k \left( \frac{1^5}{5} – \frac{0^5}{5} \right) = \frac{k}{5}$

따라서,

• $\frac{k}{5} = 1 \implies k = 5$

확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f(y) = 5(1 – y)^4$

2. 조건부 확률 계산:

$V$가 10,000을 초과한다는 조건 하에 $V$가 40,000을 초과할 확률을 구해야 합니다.

• $P(V > 40,000 \mid V > 10,000) = \frac{P(V > 40,000 \cap V > 10,000)}{P(V > 10,000)} = \frac{P(V > 40,000)}{P(V > 10,000)}$

3. $P(V > 40,000)$ 계산:

$V$ = $100,000Y$이므로, $V > 40,000$은 $Y > 0.4$와 같습니다.

• $P(Y > 0.4) = \int_{0.4}^1 5(1 – y)^4 \, dy$

적분을 계산하면:

• $\int_{0.4}^1 5(1 – y)^4 \, dy = 5 \left[ \frac{(1 – y)^5}{5} \right]_{0.4}^1 = \left[ (1 – 1)^5 – (1 – 0.4)^5 \right] = 0 – (0.6)^5 $
• $= 0.07776$

4. $P(V > 10,000)$ 계산:

$V = 100,000Y$이므로, $V > 10,000$은$ Y > 0.1$와 같습니다.

• $P(Y > 0.1) = \int_{0.1}^1 5(1 – y)^4 \, dy$

적분을 계산하면:

• $\int_{0.1}^1 5(1 – y)^4 \, dy = 5 \left[ \frac{(1 – y)^5}{5} \right]_{0.1}^1 = \left[ (1 – 1)^5 – (1 – 0.1)^5 \right] = 0 – (0.9)^5$
• $ = 0.59049$

5. 조건부 확률 계산:

• $P(V > 40,000 \mid V > 10,000) = \frac{P(V > 40,000)}{P(V > 10,000)} = \frac{0.07776}{0.59049} \approx 0.1317$

따라서, 정답은 0.13입니다.