[해설] 거래 발생 시간 예측 연습문제: 프리미엄 고객과 일반 고객의 첫 거래 발생 확률 계산

안녕하세요! 거래 발생 시간 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 프리미엄 고객과 일반 고객의 첫 거래 발생 확률 계산

신용 카드 회사는 두 종류의 고객, 프리미엄 고객과 일반 고객의 첫 번째 거래 발생 시간을 추적합니다. 프리미엄 고객의 첫 번째 거래 발생 시간은 평균이 4개월인 지수 분포를 따르고, 일반 고객의 첫 번째 거래 발생 시간은 평균이 2개월인 지수 분포를 따릅니다. 두 고객 유형의 거래 발생 시간은 서로 독립적입니다.

프리미엄 고객의 첫 번째 거래가 5개월 이내에 발생하고, 일반 고객의 첫 번째 거래가 1개월 이내에 발생할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

프리미엄 고객의 첫 번째 거래 발생 시간 ($X$)는 평균이 4개월인 지수 분포를 따릅니다. 일반 고객의 첫 번째 거래 발생 시간 ($Y$)는 평균이 2개월인 지수 분포를 따릅니다.

따라서, 프리미엄 고객의 대기 시간 ($X$)와 일반 고객의 대기 시간 $Y$의 확률 밀도 함수는 각각 다음과 같습니다:

$f_X(x) = \frac{1}{4} e^{-x/4}, \quad x > 0$

$f_Y(y) = \frac{1}{2} e^{-y/2}, \quad y > 0$

프리미엄 고객의 첫 번째 거래가 5개월 이내에 발생할 확률 $P(X \leq 5)$는 다음과 같이 계산됩니다:

$P(X \leq 5) = \int_0^5 \frac{1}{4} e^{-x/4} \, dx$

$= \left[-e^{-x/4}\right]_0^5 = 1 – e^{-5/4}$

일반 고객의 첫 번째 거래가 1개월 이내에 발생할 확률 $P(Y \leq 1)$는 다음과 같이 계산됩니다:

$P(Y \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{2} e^{-y/2} \, dy$

$= \left[-e^{-y/2}\right]_0^1 = 1 – e^{-1/2}$

프리미엄 고객의 첫 번째 거래가 5개월 이내에 발생하고 일반 고객의 첫 번째 거래가 1개월 이내에 발생할 확률은 독립 사건의 곱으로 구할 수 있습니다:

$P(X \leq 5 \text{ and } Y \leq 1) = P(X \leq 5) \times P(Y \leq 1)$

$= (1 – e^{-5/4}) \times (1 – e^{-1/2})$

이 식을 전개하면:

=$ 1 – e^{-5/4} – e^{-1/2} + e^{-5/4 – 1/2}$

$= 1 – e^{-5/4} – e^{-1/2} + e^{-7/4}$

따라서, 새로운 문제의 답은 $1 – e^{-5/4} – e^{-1/2} + e^{-7/4}} $입니다.