[해설] 정규 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 두 회사의 제품 결함 수 비교

안녕하세요! 정규 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:두 회사의 제품 결함 수 비교

회사 A는 다가오는 해 동안 제품 결함이 발생하지 않을 확률이 60%입니다. 만약 하나 이상의 결함이 발생하면, 총 결함 수는 평균 10,000과 표준 편차 2,000을 갖는 정규 분포를 따릅니다.

회사 B는 다가오는 해 동안 제품 결함이 발생하지 않을 확률이 70%입니다. 만약 하나 이상의 결함이 발생하면, 총 결함 수는 평균 9,000과 표준 편차 2,000을 갖는 정규 분포를 따릅니다.

두 회사의 총 결함 수는 독립적입니다.

다가오는 해에 회사 B의 총 결함 수가 회사 A의 총 결함 수를 초과할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.회사 A와 B의 총 청구 금액 분포:

• 회사 A:
  • 청구 없음: $P(X_A = 0) = 0.6$
  • 청구 있음: $P(X_A \neq 0) = 0.4$

• $X_A \sim N(10000, 2000^2)$

• 회사 B:
  • 청구 없음: $P(X_B = 0) = 0.7$
  • 청구 있음: $P(X_B \neq 0) = 0.3$

• $X_B \sim N(9000, 2000^2)$

2. 조건부 확률 계산:

회사 B의 총 청구 금액이 회사 A의 총 청구 금액을 초과할 확률을 계산하기 위해 두 가지 경우를 고려합니다.

첫 번째 경우: 회사 B에 청구가 있고, 회사 A에는 청구가 없는 경우:

• $P(X_B > X_A \mid X_A = 0) = P(X_B > 0) = 0.3$

이 경우의 확률은:

• $P(X_B \neq 0 \text{ and } X_A = 0) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$

두 번째 경우: 회사 B와 회사 A 모두 청구가 있는 경우:

• $P(X_B \neq 0 \text{ and } X_A \neq 0) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$

여기서 $X_B – X_A$의 분포는:

• $X_B – X_A \sim N(9000 – 10000, \sqrt{2000^2 + 2000^2}) = N(-1000, 2828.43)$

이 경우, 회사 B의 청구 금액이 회사 A의 청구 금액을 초과할 확률은:

• $P(X_B > X_A \mid X_A \neq 0, X_B \neq 0) = P(X_B – X_A > 0) = P\left(Z > \frac{0 – (-1000)}{2828.43}\right)$
• $= P\left(Z > \frac{1000}{2828.43}\right) = P(Z > 0.354)$

표준 정규 분포 테이블을 사용하여:

• $P(Z > 0.354) \approx 0.362$

3. 전체 확률 계산 :

• $P(X_B > X_A) = P(X_B \neq 0 \text{ and } X_A = 0) + P(X_B \neq 0 \text{ and } X_A \neq 0) \times P(X_B > X_A \mid X_B \neq 0 \text{ and } X_A \neq 0)$
• $= 0.18 + 0.12 \times 0.362$
• $= 0.18 + 0.04344 = 0.22344 \approx 0.223$

따라서, 정답은 0.223입니다.