[해설] 포함-배제 원리를 이용한 확률 계산 연습문제: 축구 선수들의 경기 참여 확률 분석

안녕하세요! 포함-배제 원리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:축구 선수들의 경기 참여 확률 분석

축구팀은 두 명의 주전 선수인 김 선수와 이 선수를 보유하고 있습니다. 두 선수의 경기 참여와 관련된 다음과 같은 정보가 주어졌습니다:

• 김 선수가 경기에 참여할 확률은 0.5입니다.
• 이 선수가 경기에 참여할 확률은 0.8입니다.
• 두 선수 중 최소 한 명이 경기에 참여하지 않을 확률은 0.4입니다.

김 선수와 이 선수가 동시에 경기에 참여할 확률을 구하세요.

문제 풀이

김 선수와 이 선수가 동시에 경기에 참여할 확률을 $P(A \cap B)$로 나타낼 수 있습니다. 여기서 $A$ 는 김 선수가 경기에 참여할 사건, $B$ 는 이 선수가 경기에 참여할 사건입니다.

먼저 주어진 정보를 정리하면 다음과 같습니다.

• $P(A) = 0.5 $
• $ P(B) = 0.8 $
• 두 선수 중 최소 한 명이 경기에 참여하지 않을 확률 $= 0.4$

두 선수 중 최소 한 명이 경기에 참여하지 않을 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
$P(\neg A \cup \neg B) = 0.4$

여기서 $(\neg A)$는 김 선수가 경기에 참여하지 않을 사건, $(\neg B)$는 이 선수가 경기에 참여하지 않을 사건입니다.

다음과 같은 포함-배제 원리를 적용해볼 수 있습니다:
$P(\neg A \cup \neg B) = P(\neg A) + P(\neg B) – P(\neg A \cap \neg B)$

이를 $A$ 와 $B$ 를 사용하여 다시 작성하면,
$P(\neg A) = 1 – P(A) = 1 – 0.5 = 0.5$
$P(\neg B) = 1 – P(B) = 1 – 0.8 = 0.2$

따라서,
$0.4 = 0.5 + 0.2 – P(\neg A \cap \neg B)$

위 식을 정리하면,
$P(\neg A \cap \neg B) = 0.5 + 0.2 – 0.4 = 0.3$

$P(\neg A \cap \neg B)$ 는 두 선수가 모두 참여하지 않을 확률입니다. 이제 두 선수가 모두 경기에 참여할 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$P(A \cap B) = 1 – P(\neg A \cup \neg B)$

$P(A \cap B) = 1 – 0.4 = 0.6$

따라서, 김 선수와 이 선수가 동시에 경기에 참여할 확률은 $0.6$입니다.