[해설] 농장 수확 분석: 토마토 수확 일수 기대값 계산

안녕하세요! 농장 수확 분석 해설입니다.

문제:토마토 수확 일수 기대값 계산

한 농장에서 매일 두 종류의 작물을 수확합니다. $X$ 는 토마토를 처음 수확할 때까지 필요한 일수, $Y$ 는 오이를 처음 수확할 때까지 필요한 일수입니다.

토마토와 오이 모두 특정 확률 분포를 따르며, 오이 수확일수 $Y = 4$ 일 때 토마토 수확일수 $X$ 의 기대값 $E(X | Y = 4)$ 를 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

이 문제를 풀기 위해 $( X )$와 $( Y )$가 따르는 분포를 정의하고, 주어진 조건을 바탕으로 $( E(X | Y = 4) )$를 계산해보겠습니다.

1. 토마토를 처음 수확할 때까지 필요한 일수 $( X )$는 $( p = \frac{1}{5} )$의 기하 분포를 따릅니다. 즉, 토마토가 수확될 확률은 $ p = \frac{1}{5}$입니다.
2. 오이 수확일수 $( Y = 4 )$는 첫 3일 동안 오이가 수확되지 않았고, 4일째에 오이가 수확되었다는 의미입니다.

조건부 기대값 계산

첫 3일 동안 오이가 수확되지 않았으므로, 이 기간 동안 토마토 수확이 일어났는지 여부에 따라 경우를 나눌 수 있습니다.

첫 3일 동안 토마토가 수확되지 않은 경우

• 첫 3일 동안 토마토가 수확되지 않은 경우는 $( X \geq 4 )$라는 조건과 동일합니다.
• 따라서, $( X \geq 4 )$일 때 $( X )$의 기대값을 계산합니다.
• 기하 분포에서 $( E[X | X \geq 4] = E[X] + 3 )$입니다.
• 기하 분포의 기대값 $( E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5 )$
• 따라서, $( E[X | X \geq 4] = 5 + 3 = 8 )$

첫 3일 동안 토마토가 수확된 경우

• 첫 3일 동안 토마토가 수확될 확률을 계산합니다.
• 각 날 토마토가 수확되지 않을 확률은 $( 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5} )$
• 첫 3일 동안 토마토가 수확되지 않을 확률은 $( \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} )$
• 첫 3일 동안 토마토가 수확될 확률은 $( 1 – \frac{64}{125} = \frac{61}{125} )$

최종 기대값 계산

• 첫 3일 동안 토마토가 수확되지 않은 경우의 기대값은 8입니다.
• 첫 3일 동안 토마토가 수확된 경우의 기대값은 각 경우의 확률과 기대값의 곱입니다.

$E(X | Y = 4) = \left(\frac{64}{125} \times 8 \right) + \left(\frac{61}{125} \times E[X { | $첫 3일 동안 토마토가 수확된 경우$\}])$

첫 3일 동안 토마토가 수확된 경우의 기대값

• 이 경우는 첫 3일 내에 토마토가 수확될 확률의 합입니다.
• 기하 분포의 기대값은 $\frac{1}{p} = 5 $

$E(X | Y = 4) = \left(\frac{64}{125} \times 8 \right) + \left(\frac{61}{125} \times 5 \right)$

이를 계산하면,

$E(X | Y = 4) = \frac{64}{125} \times 8 + \frac{61}{125} \times 5$
$E(X | Y = 4) = \frac{512}{125} + \frac{305}{125}$
$E(X | Y = 4) = \frac{817}{125} \approx 6.54$

따라서 조건부 기대값 $E(X | Y = 4) $는 약 6.54입니다.