[해설] 과제 제출 분석: 15번째로 과제를 제출하지 않은 학생일 확률 계산

안녕하세요! 과제 제출 분석 해설입니다.

문제:15번째로 과제를 제출하지 않은 학생일 확률 계산

한 학급에 25명의 학생이 있습니다. 그 중 10명은 수학 과제를 제출하지 않았습니다. 교사는 과제를 제출하지 않은 학생 5명을 발견할 때까지 무작위로 학생들의 과제를 검사합니다.

정확히 15명의 학생이 검사될 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

계산:

$P(${첫 14명 중 4명이 과제를 제출하지 않음}$) \times P(${15번째 학생이 과제를 제출하지 않음} | {첫 14명 중 4명이 과제를 제출하지 않음}$)$

수식:

• $P(${첫 14명 중 4명이 과제를 제출하지 않음}$) = \frac{\binom{10}{4} \binom{15}{10}}{\binom{25}{14}}$

여기서,

• $\binom{10}{4}$: 10명의 과제를 제출하지 않은 학생 중 4명을 선택하는 경우의 수
• $\binom{15}{10}$: 15명의 과제를 제출한 학생 중 10명을 선택하는 경우의 수
• $\binom{25}{14}$: 25명의 학생 중 14명을 선택하는 경우의 수

계산:

• $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210$

• $\binom{15}{10} = \frac{15!}{10!(15-10)!} = 3003$

• $\binom{25}{14} = \frac{25!}{14!(25-14)!} = 4457400$

따라서,

• $P(${첫 14명 중 4명이 과제를 제출하지 않음}$) = \frac{210 \times 3003}{4457400} = \frac{630630}{4457400} \approx 0.1415$

두 번째로, 15번째 학생이 과제를 제출하지 않았을 확률을 계산합니다:

• $P(${15번째 학생이 과제를 제출하지 않음} | {첫 14명 중 4명이 과제를 제출하지 않음}$) = \frac{6}{11}$

따라서, 최종 확률은 다음과 같습니다:

• $P(${정확히 15명의 학생이 검사될 확률}$) = 0.1415 \times \frac{6}{11} = 0.0772$

정확히 15명의 학생이 검사될 확률은 약 0.08 입니다.