[해설] 재귀적 확률 관계를 이용한 확률 계산 연습문제: 자동차 보험 가입자의 청구 건수 분석

안녕하세요! 재귀적 확률 관계를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:자동차 보험 가입자의 청구 건수 분석

한 보험사의 보험 통계 분석가가 3년 동안 주택 보험에 대한 청구 건수를 연구하고 있습니다. 분석가는 각 청구 건수 n 에 대해 다음 청구 건수 n+1 이 발생할 확률이 이전 청구 건수의 확률의 20%라고 가정합니다. 예를 들어, 한 보험 가입자가 1건의 청구를 할 확률이 이전에 0건 청구할 확률의 20%라는 뜻입니다.

이 정보를 바탕으로, 한 보험 가입자가 3년 동안 두 번 이상 청구를 할 확률을 구해주세요.

문제 정보 요약

• $p(n+1) = 0.2 \times p(n)$ 이라는 관계식을 가지고 있습니다. 이는 각 청구 건수의 확률이 이전 청구 건수 확률의 20%라는 것을 의미합니다.
• 예를 들어, 청구 건수가 0인 상태에서 청구 건수가 1인 상태로 넘어갈 확률은 $p(0)$ 의 20%입니다.

문제 풀이

• 청구 건수가 0인 경우의 확률 $p(0)$은 다른 모든 확률을 구하기 위한 기준이 됩니다.
• 모든 확률의 합이 1이 되어야 하므로, $p(0)$ 을 찾기 위해 급수의 합을 계산합니다:
  • $p(0) + p(1) + p(2) + \ldots = 1$
  • $p(0) + 0.2 \times p(0) + 0.04 \times p(0) + \ldots = 1$
  • $p(0) \times (1 + 0.2 + 0.04 + \ldots) = 1$
• 등비급수의 합 공식을 이용하여:
  • $p(0) \times \frac{1}{1 – 0.2} = 1$
  • $p(0) = 0.8$

• 두 번 이상 청구 확률을 구하기 :
  • $ p(2 \text{ or more}) = 1 – p(0) – p(1)$
  • $p(1) = 0.2 \times p(0)$
  • $p(1) = 0.16 $
  • $p(2 \text{ or more}) = 1 – 0.8 – 0.16 = 0.04 $

따라서, 한 보험 가입자가 3년 동안 두 번 이상 청구할 확률은 0.04, 즉 4%입니다.