[해설] 장비 고장 발생 시간 분석: 최소값과 최대값 계산

안녕하세요! 장비 고장 발생 시간 분석 해설입니다.

문제:최소값과 최대값 계산

어떤 고장 발생 시간은 평균 50시간인 균일 분포를 따릅니다. 이 고장 발생 시간이 70시간을 초과할 확률이 0.20입니다.

고장 발생 시간의 최소값과 최대값을 구하세요.

문제 풀이

균일 분포는 다음과 같은 확률 밀도 함수를 갖습니다:

• $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b – a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 (a)와 (b)는 각각 최솟값과 최댓값을 의미합니다.

문제에서 주어진 정보는 다음과 같습니다:

• $P(X > 70) = 0.20$

균일 분포에서 $(P(X > x))$는 다음과 같이 계산됩니다:

• $P(X > x) = \frac{b – x}{b – a}$

따라서 주어진 조건을 만족하는 $(a)$와 $(b)$를 구합니다:

• $\frac{b – 70}{b – a} = 0.20$

또한, 주어진 평균은 50시간이므로:

• $\mu = \frac{a + b}{2} = 50$

위 두 조건을 이용해 $(a)$와 $(b)$를 구합니다.

1. 평균을 이용하여 식을 세웁니다:

• $\frac{a + b}{2} = 50$

• $a + b = 100 \quad ($식 1$)$

2. 확률 조건을 이용하여 식을 세웁니다:

• $\frac{b – 70}{b – a} = 0.20$
  
  $b – 70 = 0.20(b – a)$
  
  $b – 70 = 0.20b – 0.20a$
  
  $b – 0.20b = 0.20a + 70$
  
  $0.80b = 0.20a + 70$
  
  $4b = a + 350 \quad ($식 2$)$

3. 두 식을 연립하여 $(a)$와 $(b)$를 구합니다:

• $a + b = 100 \quad ($식 1$)$

• $4b = a + 350 \quad ($식 2$)$

식 1에서 $(a = 100 – b)$를 식 2에 대입합니다:

• $4b = (100 – b) + 350$
  
  $4b + b = 450$
  
  $5b = 450$
  
  $b = 90$

이를 식 1에 대입합니다:

• $a + 90 = 100$
  
  $a = 10$

따라서 고장 발생 시간의 최소값은 10시간, 최대값은 90시간입니다.