[해설] 택배 소포 배달 분석: 하루에 소포를 K 개 초과 배달할 확률 계산

안녕하세요! 택배 소포 배달 분석 해설입니다.

문제:하루에 소포를 K 개 초과 배달할 확률 계산

한 택배 회사가 하루에 배달하는 소포의 개수는 모드가 5와 6인 포아송 분포를 따릅니다. $( K )$는 하루에 배달하는 소포의 개수가 $( K )$개를 초과할 확률이 20% 미만이 되는 최소값입니다.

$( K )$를 계산하세요.

문제 풀이

포아송 분포의 모드가 5와 6인 경우, 평균 $( \lambda )$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 포아송 분포의 모드가 $( k )$인 경우, 이는 $( k )$와 $( k+1 )$ 사이에서 일어나며, 따라서 모드가 5와 6인 경우는 $( \lambda = 6 )$입니다.

포아송 분포에서

• $( P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} )$
  
  여기서 $( \lambda = 6 )$

$( P(X > K) < 0.20 )$가 되도록 $( K )$를 찾고자 합니다. 이는 $( P(X \leq K) > 0.80 )$와 동일합니다. 따라서 누적 분포 함수 $( F(k) = P(X \leq k) )$를 사용합니다.

포아송 분포의 누적 분포 함수를 사용하여 계산합니다. 다음과 같이 $( K )$를 찾습니다:

• $P(X \leq K) = 1 – P(X > K)$

• $P(X > K) = 1 – P(X \leq K) < 0.20$

따라서 $( P(X \leq K) > 0.80 )$가 되도록 $( K )$를 찾습니다.

포아송 분포 $( \lambda = 6 )$인 경우, 누적 분포 함수를 사용하여 계산합니다.

계산 과정

• $P(X \leq 8) = e^{-6} \left( \frac{6^0}{0!} + \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} + \frac{6^6}{6!} + \frac{6^7}{7!} + \frac{6^8}{8!} \right)$

• $P(X \leq 8) = e^{-6} \left( 1 + 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 + 64.8 + 55.42857 + 41.07143 \right)$

• $P(X \leq 8) = e^{-6} \times 341.1 \approx 0.884$

• $P(X \leq 7) = e^{-6} \left( \frac{6^0}{0!} + \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} + \frac{6^6}{6!} + \frac{6^7}{7!} \right)$

• $P(X \leq 7) = e^{-6} \left( 1 + 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 + 64.8 + 55.42857 \right)$

• $P(X \leq 7) = e^{-6} \times 300.02857 \approx 0.762$

결론

따라서 $( P(X \leq 8) \approx 0.884 )$로 0.80보다 크고, $( P(X \leq 7) \approx 0.762 )$로 0.80보다 작습니다. 따라서 ( K = 8 )입니다.