[해설] 커피 원두 보존 분석: 85도에서 최소 270개의 원두가 견딜 확률 계산

안녕하세요! 커피 원두 보존 분석 해설입니다.

문제:85도에서 최소 270개의 원두가 견딜 확률 계산

한 커피 회사는 특정 유형의 커피 원두가 고온에서 잘 보존되는지 테스트합니다. 이 커피 원두가 변질되지 않기 위한 최소 온도는 평균 90도이고 표준 편차는 4도인 정규 분포를 따릅니다. 이 커피 원두 300개의 무작위 샘플이 선택되었습니다.

85도의 온도에 견딜 수 있는 커피 원두가 최소 270개일 확률을 계산하세요.(소수 둘째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 개별 커피 원두가 85도의 온도에 견딜 확률 계산

• 커피 원두가 견딜 수 있는 온도가 정규 분포 $N(90, 4^2)$ 를 따릅니다.
• $Z-$점수 계산: $Z = \frac{85 – 90}{4} = \frac{-5}{4} = -1.25$
• 표준 정규 분포표에서 $P(Z > -1.25) \approx 0.8944$
  
  따라서, 개별 커피 원두가 85도의 온도에 견딜 확률 $p$ 는 0.8944입니다.

2. 이항 분포를 정규 분포로 근사화

• 샘플 크기 $n = 300$
• 견딜 확률 $p = 0.8944$
• 정규 분포의 평균과 분산:
  평균: $\mu = np = 300 \times 0.8944 = 268.32$
  표준 편차: $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{300 \times 0.8944 \times (1 – 0.8944)} = \sqrt{28.59} \approx 5.35$

3. 정규 분포를 사용하여 확률 계산

• 최소 270개 이상이 85도의 온도에 견딜 확률 계산
• 연속성 보정 적용: $X \geq 270 -> X \geq 269.5$
• $Z-$점수 계산: $Z = \frac{269.5 – 268.32}{5.35} \approx 0.222$
• 표준 정규 분포표에서 $P(Z \geq 0.22) \approx 0.4129$

따라서, 최소 270개의 커피 원두가 85도의 온도에 견딜 확률은 약 0.4입니다.