[해설] 숫자 게임 분석: 앨리스가 게임에서 이길 확률 계산

안녕하세요! 숫자 게임 분석 해설입니다.

문제: 앨리스가 게임에서 이길 확률 계산

앨리스와 밥이 게임을 합니다. 각자 1부터 30까지의 정수를 무작위로 선택합니다. 두 숫자의 차이가 4 이하이면 앨리스가 게임에서 이기고, 그렇지 않으면 밥이 이깁니다.

앨리스가 게임에서 이길 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1. 각자 1부터 30까지의 정수를 선택할 수 있으므로 총 경우의 수는 $(30 \times 30 = 900)$입니다.

2. 두 숫자의 차이가 4 이하인 경우를 계산합니다. $(X)$가 앨리스가 선택한 숫자이고, $(Y)$가 밥이 선택한 숫자라고 가정합니다. 우리는 $( |X – Y| \leq 4 )$인 경우를 찾아야 합니다.

두 숫자의 차이가 4 이하인 경우의 수 계산

• $(X = 1)$일 때, $(Y)$의 범위: $[1, 5]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 5
• $(X = 2)$일 때, $(Y)$의 범위: $[1, 6]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 6
• $(X = 3)$일 때, $(Y)$의 범위: $[1, 7]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 7
• $(X = 4)$일 때, $(Y)$의 범위: $[1, 8]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 8
• $(X = 5)$일 때, $(Y)$의 범위: $[1, 9]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 9
• $(X = 6)$일 때부터 $(X = 26)$일 때까지, 가능한 $(Y)$의 개수: 9 (21번 반복)
• $(X = 27)$일 때, $(Y)$의 범위: $[23, 30]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 8
• $(X = 28)$일 때, $(Y)$의 범위:$ [24, 30]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 7
• $(X = 29)$일 때, $(Y)$의 범위: $[25, 30]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 6
• $(X = 30)$일 때, $(Y)$의 범위: $[26, 30]$, 가능한 $(Y)$의 개수: 5

가능한 경우의 수 합산

• $5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 21 \times 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 189 + 8 + 7 + 6 + 5 = 250$

앨리스가 이길 확률 계산

• $P({$앨리스가 이길 확률$}) = \frac{250}{900} = \frac{25}{90} \approx 0.278$

결론

따라서, 앨리스가 게임에서 이길 확률은 약 0.278입니다.