[해설] 임상 시험 부작용 분석: 총 치료 비용이 40 이하일 확률 계산

안녕하세요! 임상 시험 부작용 분석 해설입니다.

문제:총 치료 비용이 40 이하일 확률 계산

한 제약 회사는 신약 임상 시험을 진행 중입니다.피험자들이 부작용을 보고할 확률은 다음과 같습니다:

• 부작용이 없을 확률: (0.6)

• 정확히 한 번 부작용을 보고할 확률: (0.3)

• 정확히 두 번 부작용을 보고할 확률: (0.1)

부작용으로 인한 치료 비용은 $[0, 50]$ 사이에서 균일하게 분포합니다.

총 치료 비용이 40 이하일 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 부작용이 없는 경우

이 경우, 치료 비용은 0입니다.

• $P(\text{Total} \leq 40 | \text{No Side Effects}) = 1$

확률: (0.6)

2. 한 번 부작용이 있는 경우

부작용 치료 비용이 40 이하일 확률을 계산합니다.

• $P(\text{Cost} \leq 40 | \text{One Side Effect}) = \frac{40 – 0}{50 – 0} = \frac{40}{50} = 0.8$

확률: (0.3)

3. 두 번 부작용이 있는 경우

각 치료 비용이 독립적으로 $[0, 50]$ 사이에서 균일하게 분포하므로, 두 치료 비용의 합이 40 이하일 확률을 계산합니다.
치료 비용이 $(X)$와 $(Y)$라고 할 때:

• $P(X + Y \leq 40)$

이 확률은 두 개의 독립적인 균등 분포의 합이 40 이하일 확률입니다.

확률밀도함수 $(PDF)$를 사용하여 계산할 수 있습니다. 여기서는 기하학적 접근을 사용합니다.

• $P(X + Y \leq 40) = \frac{\text{Area of region } (X + Y \leq 40)}{\text{Area of square } [0, 50] \times [0, 50]}$

삼각형의 넓이를 계산합니다.

• $\text{Base of triangle} = 40, \quad \text{Height of triangle} = 40$

• $\text{Area of triangle} = \frac{1}{2} \times 40 \times 40 = \frac{1600}{2} = 800$

• $\text{Area of square} = 50 \times 50 = 2500$

따라서:

• $P(X + Y \leq 40) = \frac{800}{2500} = 0.32$

확률: (0.1)

전체 확률을 합산합니다.

• $P(\text{Total Treatment Cost} \leq 40) = 0.6 \times 1 + 0.3 \times 0.8 + 0.1 \times 0.32$
  $= 0.6 + 0.24 + 0.032 = 0.872$

따라서 총 치료 비용이 40 이하일 확률은 0.872입니다.