[해설] 폭우 보험 분석: 연간 보험 지급액의 표준 편차 계산

안녕하세요! 폭우 보험 분석 해설입니다.

문제:연간 보험 지급액의 표준 편차 계산

한 농장은 폭우로 인한 손해를 보상받기 위해 보험에 가입했습니다. 다음과 같은 조건이 있습니다:

• 강수량이 40mm 이하일 경우 보험금 지급 없음

• 강수량이 40mm 초과 50mm 이하일 경우 보험금 200달러 지급

• 강수량이 50mm 초과 60mm 이하일 경우 보험금 500달러 지급

• 강수량이 60mm 초과일 경우 보험금 800달러 지급

다음은 연간 강수량 $( X )$의 확률 분포입니다:

$$[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Rainfall (mm)} & \text{Probability} \\ \hline [0, 40] & 0.60 \\ (40, 50] & 0.20 \\ (50, 60] & 0.10 \\ (60, \infty) & 0.10 \\ \hline \end{array}]$$

이 보험 정책에 따른 지급액의 표준 편차를 계산하세요.

문제 풀이

1. 지급액 $( P )$의 기대값 $( E(P) )$:

• $E(P) = 0 \cdot 0.60 + 200 \cdot 0.20 + 500 \cdot 0.10 + 800 \cdot 0.10$
  $E(P) = 0 + 40 + 50 + 80$
  $E(P) = 170$

2. 지급액 $( P )$의 분산 $( \text{Var}(P) )$:

• $\text{Var}(P) = E(P^2) – [E(P)]^2$

여기서 $E(P^2)$ 는 다음과 같습니다:

• $E(P^2) = 0^2 \cdot 0.60 + 200^2 \cdot 0.20 + 500^2 \cdot 0.10 + 800^2 \cdot 0.10$
  $= 0 + 8000 + 25000 + 64000$
• $= 97000$

따라서,

• $\text{Var}(P) = 97000 – (170)^2$
  $= 97000 – 28900$
  $= 68100$

표준 편차 계산

• $\sigma_P = \sqrt{\text{Var}(P)} = \sqrt{68100} \approx 261$

따라서 보험 정책에 따른 지급액의 표준 편차는 약 261 입니다.