[해설] 수학 경시대회 분석: 맞힌 문제 수가 특정 값 이상일 확률 계산

안녕하세요! 수학 경시대회 분석 해설입니다.

문제:맞힌 문제 수가 특정 값 이상일 확률 계산

한 수학 경시대회에서는 학생들이 50개의 문제를 풉니다. 학생이 각 문제를 맞힐 확률은 0.6이며, 다른 문제들과 독립적입니다. 학생이 $N$ 개 이상의 문제를 맞힐 확률이 0.15보다 크고,$ N + 1 $개 이상의 문제를 맞힐 확률이 0.15보다 작은 경우를 찾으세요.

정규 근사를 사용하여 $N$ 을 계산하세요.

문제 풀이

0개의 문제에서 각 문제를 맞힐 확률이 0.6입니다. 이를 이항 분포로 나타내면 $B(n, p)$ 로, 여기서 $n = 50$ 이고 $p = 0.6$ 입니다.

1. 이항 분포의 정규 근사

• $n = 50$
  $p = 0.6$
  $np = 50 \times 0.6 = 30$
  $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50 \times 0.6 \times 0.4} = \sqrt{12} \approx 3.464$

따라서 $X$ 는 $N(30, 12)$ 로 근사할 수 있습니다.

2. $N$ 개의 문제를 맞힐 확률 계산

정규 분포로 근사할 때 연속성 수정(continuity correction)을 적용합니다.

• $P(X > N) > 0.15$

이 확률을 정규 분포의 누적 분포 함수로 나타내면,

• $P\left(Z > \frac{N + 0.5 – 30}{\sqrt{12}}\right) > 0.15$

여기서 Z 는 표준 정규 분포를 따릅니다. $P(Z > z) > 0.15$ 이므로 $P(Z \leq z) < 0.85$ 입니다. Z 값은 0.85의 누적 분포 값을 가지는 1.04입니다.

따라서,

• $\frac{N + 0.5 – 30}{\sqrt{12}} = 1.04$

이를 풀면,

• $N + 0.5 – 30 = 1.04 \sqrt{12}$
  $N + 0.5 – 30 \approx 3.606$
  $N \approx 33.106$

따라서, $N$ 은 33.106 보다 작아야 합니다..

3. $N + 1$ 개의 문제를 맞힐 확률 계산

• $P(X > N + 1) < 0.15$

• $P\left(Z > \frac{N + 1.5 – 30}{\sqrt{12}}\right) < 0.15$

여기서 Z 는 표준 정규 분포를 따릅니다. $P(Z > z) > 0.15$ 이므로 $P(Z \leq z) < 0.85$ 입니다. Z 값은 0.85의 누적 분포 값을 가지는 1.04입니다.

따라서,

• $\frac{N + 1.5 – 30}{\sqrt{12}} = 1.04$

이를 풀면,

• $N + 1.5 – 30 = 1.04 \sqrt{12}$
  $N + 1.5 – 30 \approx 3.606$
  $N \approx 32.106$

계산 결과, $N$은 33.106 보다 작고 32.106보다 커야합니다. 따라서 $N $은 33 입니다.