[해설] 연구소 실험 분석: 오후 실험 수의 분산 계산

안녕하세요! 연구소 실험 분석 해설입니다.

문제:오후 실험 수의 분산 계산

$( X )$는 특정 연구소에서 아침 시간 동안 수행되는 실험의 수를 나타내고, $( Y )$는 오후 시간 동안 수행되는 실험의 수를 나타냅니다.

• $( X )$와 $( Y )$는 포아송 분포를 따릅니다.

• $( X )$의 첫 번째 모멘트는 $( Y )$의 첫 번째 모멘트보다 6만큼 작습니다.

• $( X )$의 두 번째 모멘트는 $( Y )$의 두 번째 모멘트의 70%입니다.

$Y$ 의 분산을 계산 하세요.(소수점 첫째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

포아송 분포에서 첫 번째 모멘트(평균)와 두 번째 모멘트는 다음과 같습니다:

• $ E[X] = \lambda_X $
• $ E[X^2] = \lambda_X + \lambda_X^2 $ (포아송 분포의 두 번째 모멘트는 분산과 평균의 합과 같습니다)
• $ E[Y] = \lambda_Y $
• $E[Y^2] = \lambda_Y + \lambda_Y^2 $

주어진 조건을 수식으로 표현하면:

1. $ E[X] = \lambda_X $
2. $E[Y] = \lambda_Y $
3. $ \lambda_X = \lambda_Y – 6 $
4. $E[X^2] = 0.7 \cdot E[Y^2] $

포아송 분포에서 분산은 평균과 같기 때문에:

• $\text{Var}(X) = \lambda_X$
• $\text{Var}(Y) = \lambda_Y$

두 번째 모멘트 조건을 사용하면:

• $\lambda_X + \lambda_X^2 = 0.7 \cdot (\lambda_Y + \lambda_Y^2)$

이를 $( \lambda_X = \lambda_Y – 6 )$에 대입합니다:

• $(\lambda_Y – 6) + (\lambda_Y – 6)^2 = 0.7 \cdot (\lambda_Y + \lambda_Y^2)$

이를 정리하면:

• $\lambda_Y – 6 + (\lambda_Y^2 – 12\lambda_Y + 36) = 0.7\lambda_Y + 0.7\lambda_Y^2$
  $\lambda_Y – 6 + \lambda_Y^2 – 12\lambda_Y + 36 = 0.7\lambda_Y + 0.7\lambda_Y^2$
  $\lambda_Y^2 – 12\lambda_Y + 36 + \lambda_Y – 6 = 0.7\lambda_Y + 0.7\lambda_Y^2$
  $\lambda_Y^2 – 0.7\lambda_Y^2 – 12\lambda_Y + \lambda_Y – 0.7\lambda_Y + 36 – 6 = 0$
  $0.3\lambda_Y^2 – 11.7\lambda_Y + 30 = 0$

이제 이 2차 방정식을 풉니다:

• $\lambda_Y = \frac{11.7 \pm \sqrt{11.7^2 – 4 \cdot 0.3 \cdot 30}}{2 \cdot 0.3}$
  $= \frac{11.7 \pm \sqrt{136.89 – 36}}{0.6}$
  $= \frac{11.7 \pm \sqrt{100.89}}{0.6}$
  $= \frac{11.7 \pm 10.04}{0.6}$

따라서,

• $\lambda_Y = \frac{1.66}{0.6} \approx 2.77$

또는

• $\lambda_Y = \frac{21.74}{0.6} \approx 36.23$

1. $(\lambda_Y = 2.77)$이라고 가정하면:

• $(\lambda_X = 2.77 – 6 = -3.23)$

포아송 분포에서 $(\lambda)$는 평균이자 분산이며, 음수일 수 없습니다. 따라서 $(\lambda_X)$가 음수가 되는 이 해는 물리적으로 의미가 없습니다.

2. $(\lambda_Y = 36.23)$이라고 가정하면:

• $(\lambda_X = 36.23 – 6 = 30.23)$
• 이는 포아송 분포에서 가능한 양의 값입니다.

주어진 조건을 만족하는 $(\lambda_Y = 36.23)$입니다.

따라서, Y 의 분산은 36.23입니다.