[해설] 품질 검사 분석: 보험에 가입된 물품 두 개가 포함될 확률 계산

안녕하세요! 품질 검사 분석 해설입니다.

문제:보험에 가입된 물품 두 개가 포함될 확률 계산

50개의 물품 중에서 한 품질 검사원이 무작위로 6개의 물품을 검사하여 손상된 물품을 확인했습니다.

손상된 물품 중 정확히 한 개가 보험에 가입된 물품일 확률은, 손상된 물품 중 아무것도 보험에 가입되지 않은 물품일 확률의 세 배입니다.

손상된 6개의 물품 중 정확히 두 개가 보험에 가입된 물품일 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1. 손상된 물품 중 정확히 한 개가 보험에 가입된 경우의 확률과 아무것도 보험에 가입되지 않은 경우의 확률의 비율:

• $\frac{\binom{r}{1} \binom{50-r}{5}}{\binom{50}{6}} = 3 \times \frac{\binom{r}{0} \binom{50-r}{6}}{\binom{50}{6}}$

여기서 $( r )$은 보험에 가입된 총 물품의 수입니다. 위의 식을 정리하면:

• $\frac{r \cdot \binom{50-r}{5}}{\binom{50}{6}} = 3 \times \frac{\binom{50-r}{6}}{\binom{50}{6}}$

• $ \cdot \binom{50-r}{5} = 3 \cdot \binom{50-r}{6}$

• $r \cdot \frac{(50-r)(49-r)(48-r)(47-r)(46-r)}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3 \cdot \frac{(50-r)(49-r)(48-r)(47-r)(46-r)(45-r)}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

양변을 $(50-r)(49-r)(48-r)(47-r)(46-r)$로 나누면:

• $r \cdot \frac{1}{5} = 3 \cdot \frac{45-r}{6}$

• $r \cdot \frac{1}{5} = \frac{3(45-r)}{6}$

• $r \cdot \frac{1}{5} = \frac{135 – 3r}{6}$

양변에 30을 곱하면:

• $6r = 135 – 3r$

• $9r = 135$

• $r = 15$

따라서, 보험에 가입된 물품의 수는 15개입니다.

2. 손상된 6개의 물품 중 정확히 두 개가 보험에 가입된 물품일 확률:

• $P(2) = \frac{\binom{15}{2} \binom{35}{4}}{\binom{50}{6}}$

이를 계산하면:

• $\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$

• $\binom{35}{4} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 52360$

• $\binom{50}{6} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15890700$

따라서:

• $P(2) = \frac{105 \times 52360}{15890700} = \frac{5497800}{15890700} \approx 0.346$

따라서, 손상된 6개의 물품 중 정확히 두 개가 보험에 가입된 물품일 확률은 0.346입니다.