[해설] 퀴즈 분석: 두 번 정답 맞추기까지 필요한 퀴즈 수 최빈값 계산

안녕하세요! 퀴즈 분석 해설입니다.

문제:두 번 정답 맞추기까지 필요한 퀴즈 수 최빈값 계산

한 학생이 퀴즈를 볼 때마다 정답을 맞출 확률이 0.7입니다. 각각의 퀴즈에서 정답을 맞출 확률은 서로 독립적입니다.

학생이 두 번 정답을 맞추기까지 필요한 퀴즈의 횟수의 최빈값을 구하세요.

문제 풀이

여기서 $( X )$를 학생이 두 번 정답을 맞추기 위해 필요한 퀴즈의 횟수라고 합시다. 그러면 $( X )$는 성공 확률 $( p = 0.7 )$인 음이항 분포를 따르며, $( r = 2 )$번의 성공이 필요합니다.

음이항 분포의 확률 질량 함수$(PMF)$는 다음과 같습니다:

• $P(X = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}$

여기서 $( n \geq r )$입니다.

• $P(X = n) =$
  $\binom{n-1}{2-1} (0.7)^2 (1-0.7)^{n-2} = (n-1)(0.7)^2 (0.3)^{n-2}, \quad \text{for} \quad n \geq 2$

음이항 분포에서 $P(X = n) $을 최대화하기 위해서는 $(\frac{P(X = n+1)}{P(X = n)})$의 값이 $( n )$이 증가함에 따라 1보다 크거나 작아지는지를 확인해야 합니다. $( n )$이 작아질 때 이 비율이 1보다 크다면 $( P(X = n) )$이 증가하고, $( n )$이 커질 때 이 비율이 1보다 작다면 $( P(X = n) )$이 감소합니다.

이제 $ P(X = n) $을 최대화하기 위해 $ P(X = n) $과 $P(X = n+1) $을 비교해 보겠습니다.

• $\frac{P(X = n+1)}{P(X = n)} = \frac{(n)(0.7)^2 (0.3)^{n-1}}{(n-1)(0.7)^2 (0.3)^{n-2}} = \frac{n \cdot 0.3}{n-1} = 0.3 \cdot \frac{n}{n-1}$

이 비율이 1보다 큰지 작은지 확인하기 위해 값을 계산해보겠습니다:

$( n = 2 )$일 때:

• $\frac{P(X = 3)}{P(X = 2)} = 0.3 \cdot \frac{2}{2-1} = 0.3 \cdot 2 = 0.6$

( n = 3 )일 때:

• $\frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} = 0.3 \cdot \frac{3}{3-1} = 0.3 \cdot \frac{3}{2} = 0.3 \cdot 1.5 = 0.45$

이 비율이 1보다 크지 않으므로, P(X = n) 이 최대가 되는 ( n )은 n = 3 입니다.

따라서, 학생이 두 번 정답을 맞추기 위해 필요한 퀴즈의 횟수의 최빈값은 3입니다.