[해설] 식당 서비스 분석: 고객 불만 건수 분산 계산

안녕하세요! 식당 서비스 분석 해설입니다.

문제:고객 불만 건수 분산 계산

한 식당에서는 하루 동안 발생하는 고객 불만 건수 $( N )$가 평균 $( \lambda )$를 갖는 포아송 분포를 따릅니다. $( \lambda )$는 해당 날의 서비스 품질에 따라 결정되는 랜덤 변수이며, 구간 $[2, 5]$에서 균등 분포합니다.

고객 불만 건수의 분산을 계산하십시오.

문제 풀이

포아송 분포의 평균과 분산은 동일하므로, 불만 건수 $( N )$가 주어진 $( \lambda )$에 대해 포아송 분포를 따를 때, 평균과 분산은 모두 $( \lambda )$입니다.

랜덤 변수 $( N )$의 분산을 구하기 위해 이중 기대값의 법칙을 사용할 수 있습니다. 이중 기대값의 법칙에 따르면,

• $\text{Var}(N) = E[\text{Var}(N | \lambda)] + \text{Var}(E[N | \lambda])$

포아송 분포에서,

• $\text{Var}(N | \lambda) = \lambda$
  $E[N | \lambda] = \lambda$

먼저, $( E[\lambda] )$와 $( \text{Var}(\lambda) )$를 구합니다.

1. $( \lambda )$의 기대값 계산

$( \lambda )$는 $[2, 5]$ 구간에서 균등 분포하므로,

• $E[\lambda] = \frac{2 + 5}{2} = 3.5$

2. $( \lambda )$의 분산 계산

균등 분포의 분산은,

• $\text{Var}(\lambda) = \frac{(b – a)^2}{12}$

여기서 $( a = 2 ), ( b = 5 )$이므로,

• $\text{Var}(\lambda) = \frac{(5 – 2)^2}{12} = \frac{9}{12} = 0.75$

3. 이중 기대값의 법칙을 적용

이제 $( E[\text{Var}(N | \lambda)] )와 ( \text{Var}(E[N | \lambda]) )$를 계산합니다.

• $E[\text{Var}(N | \lambda)] = E[\lambda] = 3.5$
• $\text{Var}(E[N | \lambda]) = \text{Var}(\lambda) = 0.75$

따라서,

• $\text{Var}(N) = E[\text{Var}(N | \lambda)] + \text{Var}(E[N | \lambda]) = 3.5 + 0.75 = 4.25$

고객 불만 건수 $N$ 의 분산은 4.25입니다.