[해설] 농작물 수확량 예측 연습문제: 수확량이 200kg 이상일 때 90번째 백분위수 계산

안녕하세요! 농작물 수확량 예측 연습문제 해설입니다.

문제:수확량이 200kg 이상일 때 90번째 백분위수 계산

한 농장은 특정 농작물의 수확량을 예측합니다. 이 농작물의 수확량은 평균 1000kg인 지수 분포를 따릅니다. 수확량이 200kg 이상인 경우의 90번째 백분위수를 계산하세요.

문제 풀이

1. 지수 분포의 파라미터 구하기:
평균이 1000kg이므로, 지수 분포의 파라미터 $\lambda$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1000}$

2. 조건부 확률 구하기:

$0.90 = P[X \leq p \mid X > 200]$

이 조건부 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$P[X \leq p \mid X > 200] = \frac{P[200 \leq X \leq p]}{P[X > 200]}$

지수 분포의 누적 분포 함수(CDF)는:

$F(x) = 1 – e^{-x/1000}$

따라서:

$P[X > 200] = 1 – F(200) = e^{-200/1000}$

$P[200 \leq X \leq p] = F(p) – F(200) = \left(1 – e^{-p/1000}\right) – \left(1 – e^{-200/1000}\right)$

$P[200 \leq X \leq p] = e^{-200/1000} – e^{-p/1000}$

따라서:

$P[X \leq p \mid X > 200] = \frac{e^{-200/1000} – e^{-p/1000}}{e^{-200/1000}} = 1 – e^{-(p-200)/1000}$

3. 90번째 백분위수 구하기:

$0.90 = 1 – e^{-(p-200)/1000}$

$e^{-(p-200)/1000} = 0.10$

$-(p-200)/1000 = \ln(0.10)$

$\ln(0.10) = -2.3026$ 이므로:

$-(p-200)/1000 = -2.3026$

$p – 200 = 2.3026 \times 1000$

$p – 200 = 2302.6$

$p = 2302.6 + 200 = 2502.6$

따라서, 수확량이 200kg 이상인 경우의 90번째 백분위수는 약 2503 입니다.