[해설] 포아송 분포를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제: 서버 다운타임 보험 분석

안녕하세요! 포아송 분포를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 서버 다운타임 보험 분석

한 IT 회사는 서버 다운타임으로 인한 손실을 보상받기 위해 보험에 가입했습니다. 보험 정책에 따르면, 연중 첫 번째 서버 다운타임에 대해서는 보상을 하지 않고, 그 이후부터는 각 다운타임마다 10,000의 보상금을 지급합니다. 연간 서버 다운타임 횟수는 평균 1.5회의 포아송 분포를 따른다고 가정합니다.

이 보험 정책에 따라 1년 동안 회사에 지급될 기대 보상금을 계산하세요.

문제 풀이

서버 다운타임의 연간 발생 횟수 $N$ 는 평균 $\lambda = 1.5$인 포아송 분포를 따릅니다:

• $P(N = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-1.5} 1.5^k}{k!}$

보상금 계산

• $N = 0$ 인 경우: 보상금은 0
• $N = 1$ 인 경우: 첫 번째 다운타임에 대한 보상금은 0
• $N \geq 2$인 경우: 첫 번째 다운타임을 제외한 나머지 다운타임 횟수에 대해 보상금을 지급

따라서 보상금은 다음과 같습니다:

• $N = k \geq 2$일 경우: 보상금 $= 10,000 \times (k – 1)$

기대값 계산

기대 보상금 $E[$보상금$]$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

• $E[$보상금$] = \sum_{k=2}^{\infty} 10,000 \times (k – 1) \times P(N = k)$

• $E[$보상금$] = \sum_{k=2}^{\infty} 10,000 \times (k – 1) \times \frac{e^{-1.5} 1.5^k}{k!}$

이 식을 다시 쓰면:

• $E[$보상금$] = 10,000 \times e^{-1.5} \sum_{k=2}^{\infty} (k – 1) \times \frac{1.5^k}{k!}$

여기서, 지수 함수의 성질을 이용해 합을 구하면:

• $\sum_{k=2}^{\infty} (k – 1) \times \frac{1.5^k}{k!} = \left[ \sum_{k=0}^{\infty} k \times \frac{(1.5)^k}{k!} – 1.5 \right]$

포아송 분포의 특성에 따라:

• $\sum_{k=0}^{\infty} k \times \frac{(1.5)^k}{k!} = 1.5 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1.5)^{k-1}}{(k-1)!} = 1.5 \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(1.5)^j}{j!} = 1.5 e^{1.5}$

따라서:

• $\sum_{k=2}^{\infty} (k – 1) \times \frac{1.5^k}{k!} = 1.5 e^{1.5} – 1.5$

이를 이용해 기대 보상금을 계산하면:

• $E[$보상금$]= 10,000 \times e^{-1.5} \times (1.5 e^{1.5} – 1.5)$

• $E[$보상금$] = 10,000 \times (1.5 – 1.5 e^{-1.5})$

• $E[$보상금$]= 10,000 (1.5 – 1) + 10,000 e^{-3/2} = 7,231$

따라서, 이 결과에 따르면 답은 7,231입니다.