[해설] 삼항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 과일 상자 포장 시 고등급 과일 상자의 비율 분석

안녕하세요! 삼항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:과일 상자 포장 시 고등급 과일 상자의 비율 분석

한 농장은 새롭게 수확한 과일을 무작위로 4개의 상자에 포장합니다. 과일의 품질에 따라 세 가지 등급으로 나뉩니다: 50%는 저등급 과일, 30%는 중등급 과일, 20%는 고등급 과일입니다. 과일의 품질은 독립적으로 결정됩니다.

이번 달, 농장은 4개의 새로운 상자를 포장합니다.

이 4개의 상자 중 최소 2개 상자에 포함된 고등급 과일이 저등급 과일보다 많을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 변수 정의:

• $X$ = 저등급 과일 상자 수
• $Y$ = 중등급 과일 상자 수
• $Z$ = 고등급 과일 상자 수

2.조건 설정:
문제는 고등급 과일 상자 수 (Z)가 저등급 과일 상자 수 (X)보다 최소 2개 더 많은 경우를 계산해야 합니다. 가능한 경우는 다음과 같습니다:

• $(Z = 4, X = 0)$
• $(Z = 3, X = 1)$
• $(Z = 2, X = 0)$

3. 삼항 분포 확률 계산:
삼항 분포 확률 함수 $f(x, y, z)$는 다음과 같습니다:

• $P(z \geq x + 2) = f(0, 0, 4) + f(1, 0, 3) + f(0, 2, 2)$

각 경우에 대해 확률을 계산합니다:

• $f(0, 0, 4) = (0.20)^4 = 0.0016$
• $f(1, 0, 3) = 4 \cdot (0.50) \cdot (0.20)^3 = 4 \cdot 0.50 \cdot 0.008 = 0.016$
• $f(0, 1, 3) = 4 \cdot 0.30 \cdot (0.20)^3 = 4 \cdot 0.30 \cdot 0.008 = 0.0096$
• $f(0, 2, 2) = \frac{4!}{2! 2!} \cdot (0.30)^2 \cdot (0.20)^2 = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.04 = 0.0216$

4. 최종 확률 계산:

네 경우의 확률을 더하면:

• $P(z \geq x + 2) = 0.0016 + 0.016 + 0.0096 + 0.0216 = 0.0488$

따라서, 정답은 0.049입니다.