[해설] 확률 변수 분석: 기대값이 5가 되도록 하는 k 값 계산

안녕하세요! 확률 변수 분석 해설입니다.

문제:기대값이 5가 되도록 하는 k 값 계산

확률 변수 $( Z )$는 다음과 같은 확률 밀도 함수 $( h(z) )$를 가집니다:

$h(z) = \begin{cases} \frac{k-2}{z^k} & z > 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

$( E(Z) = 5 )$가 되도록 $( k )$의 값을 계산하시오.

문제 풀이

1. 확률 밀도 함수가 올바른지 확인하기 위해 적분의 값이 1인지 확인:

• $\int_{3}^{\infty} h(z) \, dz = \int_{3}^{\infty} \frac{k-2}{z^k} \, dz$
  $= (k-2) \int_{3}^{\infty} \frac{1}{z^k} \, dz$
  $= (k-2) \left[ \frac{z^{-k+1}}{-k+1} \right]_{3}^{\infty}$
  $= (k-2) \left[ 0 – \frac{3^{1-k}}{1-k} \right]$
  $= (k-2) \left[ -\frac{3^{1-k}}{1-k} \right]$
  $= \frac{k-2}{k-1} \times 3^{1-k} = 1$

여기서 $( k > 2 )$이어야 합니다.

2. 기댓값 $( E(Z) )$를 계산:

• $E(Z) = \int_{3}^{\infty} z \cdot h(z) \, dz = \int_{3}^{\infty} z \cdot \frac{k-2}{z^k} \, dz$
  $= (k-2) \int_{3}^{\infty} z^{1-k} \, dz$
  $= (k-2) \left[ \frac{z^{-k+2}}{-k+2} \right]_{3}^{\infty}$
  $= (k-2) \left[ 0 – \frac{3^{2-k}}{2-k} \right]$
  $= (k-2) \left[ -\frac{3^{2-k}}{2-k} \right]$
  $= \frac{k-2}{k-2} \times 3^{2-k}$

주어진 조건에 따라 $( E(Z) = 5 )$이므로:

• $\frac{k-2}{k-2} \times 3^{2-k} = 5$

• $3^{2-k} = 5$

3. 식을 풀어 $k$ 값을 찾기:

• $2 – k = \log_3 5$

• $k = 2 – \log_3 5$

답:

따라서 $k$는 $2 – \log_3 5$ 입니다.