[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제: 기계 수명의 조건부 확률 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:기계 수명의 조건부 확률 분석

한 회사는 기계의 수명(시간)을 확률 변수 (X)로 모델링하고, 밀도 함수는 다음과 같습니다:

$f(x) =\begin{cases} 0.005(20 – x), & 0 < x < 20 \ \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

기계의 수명이 8시간을 초과한다는 조건 하에, 16시간을 초과할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 밀도 함수의 정규화:
주어진 밀도 함수가 확률 밀도 함수가 되기 위해서 $(0 < x < 20)$에서의 적분 값이 1이 되어야 합니다.

• $\int_0^{20} 0.005(20 – x) \, dx = 1$

2.밀도 함수의 적분 계산:

• $\int_0^{20} 0.005(20 – x) \, dx$

적분을 수행하면:

$0.005 \int_0^{20} (20 – x) \, dx = 0.005 \left[ 20x – \frac{x^2}{2} \right]_0^{20}$

$= 0.005 \left( 20 \cdot 20 – \frac{20^2}{2} \right) = 0.005 \left( 400 – 200 \right) = 0.005 \cdot 200 = 1$

따라서, 주어진 함수는 올바른 확률 밀도 함수입니다.

3. 조건부 확률 계산:
$P(X > 16 \mid X > 8)$를 계산해야 합니다.
조건부 확률의 정의에 따라:

• $P(X > 16 \mid X > 8) = \frac{P(X > 16 \cap X > 8)}{P(X > 8)} = \frac{P(X > 16)}{P(X > 8)}$

4. 확률 $P(X > 16)$ 계산:

$P(X > 16) = \int_{16}^{20} 0.005(20 – x) \, dx$

$= 0.005 \left[ 20x – \frac{x^2}{2} \right]_{16}^{20} = 0.005 \left( \left(20 \cdot 20 – \frac{20^2}{2}\right) – \left(20 \cdot 16 – \frac{16^2}{2}\right) \right)$

$= 0.005 \left( 400 – 200 – (320 – 128) \right) = 0.005 \left( 200 – 192 \right) = 0.005 \cdot 8 = 0.04$

5.확률$ P(X > 8)$ 계산:

$P(X > 8) = \int_{8}^{20} 0.005(20 – x) \, dx$

$= 0.005 \left[ 20x – \frac{x^2}{2} \right]_{8}^{20} = 0.005 \left( \left(20 \cdot 20 – \frac{20^2}{2}\right) – \left(20 \cdot 8 – \frac{8^2}{2}\right) \right)$

$= 0.005 \left( 400 – 200 – (160 – 32) \right) = 0.005 \left( 200 – 128 \right) = 0.005 \cdot 72 = 0.36$

6. 조건부 확률 계산:

$P(X > 16 \mid X > 8) = \frac{P(X > 16)}{P(X > 8)} = \frac{0.04}{0.36} = \frac{1}{9}$

따라서 정답은 $\frac{1}{9}$ 입니다.