[해설] 화재 보험 손실 분석: 보험사가 최소 3.75를 지급할 확률 계산

안녕하세요! 화재 보험 손실 분석 해설입니다.

문제:보험사가 최소 3.75를 지급할 확률 계산

화재 보험 정책에 의해 보장되는 손실은 $[0, 5]$ 구간에서 균일 분포합니다. 보험사는 공제액 $(d)$를 초과하는 손실 금액을 지급합니다.

무작위 손실에서 보험사가 최소 3.00을 지급할 확률이 0.30입니다.

무작위 손실에서 보험사가 최소 3.75를 지급할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1. 공제액 $(d)$를 구합니다

보험사가 최소 3.00을 지급할 확률이 0.30이라는 조건을 사용합니다. 손실 $(X)$가 $[0, 5]$ 구간에서 균일 분포하는 경우, 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f(x) = \frac{1}{5} \quad \text{for } 0 \leq x \leq 5$

보험사가 최소 3.00을 지급한다는 것은 $(X)$가 $d + 3.00$보다 큰 경우입니다.

• $P(X \geq d + 3.00) = 0.30$

균일 분포에서 $X \geq a$의 확률은 $\frac{5 – a}{5}$로 계산됩니다.

• $\frac{5 – (d + 3.00)}{5} = 0.30$
  
  $5 – (d + 3.00) = 1.50$
  
  $2 – d = 1.5$
  
  $d = 0.5$

따라서 공제액 $d$는 0.5 입니다.

2. 보험사가 최소 3.75를 지급할 확률을 계산합니다.

• $P(X \geq d + 3.75) = P(X \geq 0.5 + 3.75) = P(X \geq 4.25)$

균일 분포에서 $P(X \geq 4.25)$는 $\frac{5 – 4.25}{5}$로 계산됩니다.

• $P(X \geq 4.25) = \frac{5 – 4.25}{5} = \frac{0.75}{5} = 0.15$

따라서, 무작위 손실에서 보험사가 최소 3.75를 지급할 확률은 0.15입니다.