[해설] 확률 계산 연습문제: 항아리에서 공뽑기 시나리오

안녕하세요! 항아리 공뽑기 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:항아리에서 공뽑기 시나리오

두 개의 항아리가 있습니다. 첫 번째 항아리에는 12개의 공이 있으며, 그 중 5개는 빨간색이고 7개는 파란색입니다. 두 번째 항아리에는 20개의 빨간색 공이 있고, 파란색 공의 수는 알 수 없습니다. 각 항아리에서 하나의 공을 뽑았을 때, 두 공의 색이 동일할 확률이 0.5입니다.

두 번째 항아리에 있는 파란색 공의 수를 계산하세요.

문제 정보 요약

• 첫 번째 항아리 : 5개의 빨간공, 7개의 파란공, 총 12개의 공
• 두 번째 항아리 : 20개의 빨간공, x개의 파란공, 총 (20+x)개의 공
• 각 항아리에서 하나의 공을 뽑았을 때, 두 공의 색이 동일할 확률이 0.5

문제 풀이

1. 동일한 색을 뽑는 경우 :
   • 첫 번째 항아리에서 빨간색을 뽑고 두 번째 항아리에서 빨간색을 뽑는 경우
   • 첫 번째 항아리에서 파란색을 뽑고 두 번째 항아리에서 파란색을 뽑는 경우
   1. 각 경우의 확률 :
      • 첫 번째 경우 (빨간색 – 빨간색)
        • 첫 번째 항아리에서 빨간색을 뽑을 확률 : $ 5 \over 12 $
        • 두 번째 항아리에서 빨간색을 뽑을 확률 : $ 20 \over (20+x) $​ (여기서 x는 두 번째 항아리의 파란색 공의 수)
        • 이 두 확률의 곱은 $ {5 \over 12} \times {20 \over (20+x)} $​
      • 두 번째 경우 (파란색 – 파란색)
        • 첫 번째 항아리에서 파란색을 뽑을 확률 : $ 7 \over 12 $
        • 두 번째 항아리에서 파란색을 뽑을 확률 : $ x \over (20+x) $​
        • 이 두 확률의 곱은 $ {7 \over 12} \times {20 \over (20+x)} $
   2. 전체 확률:
      • 두 경우의 확률을 더한 것이 두 공이 동일한 색을 가질 확률입니다.
      • $ {5 \over 12} \times {20 \over (20+x)} + {7 \over 12} \times {20 \over (20+x)}$​
   3. 방정식 계산 :
      • 위 방정식을 풀어 x의 값을 구합니다.
      • $ \frac{5 \times 20 +7 \times x}{12 \times (20+x)}$ = $ \frac{100+7x} {240+12x} = 0.5$
      • 결과적으로 x=20

즉, 두 번째 항아리에 있는 파란색 공의 수는 20개입니다.