[해설] 기계 고장 분석: 5일째에 세 번째 고장이 날 확률 계산

안녕하세요! 기계 고장 분석 해설입니다.

문제:5일째에 세 번째 고장이 날 확률 계산

어느 회사의 복사기는 하루에 고장이 나지 않거나 정확히 한 번 고장이 납니다. 특정한 날에 고장이 날 확률은 0.30입니다. 서로 다른 날의 고장은 상호 독립적입니다.

복사기가 첫 4일 동안 3번의 고장을 겪지 않았다는 조건 하에, 6일째에 세 번째 고장이 날 확률을 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 문제 정의

• 하루에 고장이 날 확률 $ P(M) = 0.30 $
• 하루에 고장이 나지 않을 확률 $P(N) = 0.70$
• 6일째에 세 번째 고장을 겪을 확률을 구합니다.

2. 4일 동안 2번의 고장 확률 계산:

• $P(${4일 중 2번의 고장}$) = \binom{4}{2} \times (0.30)^2 \times (0.70)^2$
  
  $= 6 \times (0.09) \times (0.49) = 6 \times 0.0441 = 0.2646$

3. 6일째 고장이 날 확률:

• $P(M_6) = 0.30$

4. 첫 4일 동안 3번의 고장이 없을 확률 계산:

0번의 고장이 날 확률:

• $P(\text{4일 중 0번의 고장}) = (0.70)^4 = 0.2401$

1번의 고장이 날 확률:

• $P(${4일 중 1번의 고장}$) = \binom{4}{1} \times (0.30) \times (0.70)^3 = 4 \times 0.30 \times 0.343 = 0.4116$

2번의 고장이 날 확률:

• $P(${4일 중 2번의 고장}$) = \binom{4}{2} \times (0.30)^2 \times (0.70)^2 = 6 \times 0.09 \times 0.49 = 0.2646$

첫 4일 동안 3번의 고장이 없을 확률은 위 세 가지 확률의 합입니다:

$P(${첫 4일 동안 3번의 고장이 없음}$) = 0.2401 + 0.4116 + 0.2646 = 0.9163$

5. 최종 계산 :

6일째에 세 번째 고장이 날 확률은 첫 4일 동안 2번의 고장이 있을 확률과 6일째에 고장이 날 확률을 곱하고, 이를 첫 4일 동안 3번의 고장이 없을 확률로 나눕니다.

• $P(${6일째에 세 번째 고장}$) = P(${4일 중 2번의 고장}$) \times P(M_6) / P(${첫 4일 동안 3번의 고장이 없음}$)$
  
  $= \frac{0.2646 \times 0.30}{0.9163} = \frac{0.07938}{0.9163} \approx 0.0866$

6일째에 세 번째 고장이 날 확률은 0.09 입니다.