[해설] 화학 시험 점수 분석: Alex의 백분위수 계산

안녕하세요! 화학 시험 점수 분석 해설입니다.

문제: Alex의 백분위수 계산

2010년에 Alex의 아버지는 화학 시험에서 87번째 백분위수에 해당하는 점수를 받았습니다. 2010년의 평균 점수는 72점이었고, 점수의 분산은 225였습니다.

2021년에 Alex는 화학 시험을 치렀고, 아버지가 11년 전에 받은 점수와 동일한 점수를 받았습니다. 2021년의 평균 점수는 78점이었고, 점수의 분산은 256이었습니다.

화학 시험 점수는 정규 분포를 따르고 정수로 표시됩니다. Alex의 점수 백분위수를 계산하세요

문제 풀이

1. 2010년 점수를 기반으로 아버지의 점수를 찾기

• 87번째 백분위수는 $P(Z \leq z) = 0.87$인 $z-$점수에 해당합니다.
• 정규 분포표를 참고하여 $P(Z \leq 1.126) = 0.87$임을 알 수 있습니다.
• 따라서, 2010년의 $z-$점수는 1.126입니다.
• 점수는 $X = \mu + z \sigma$로 계산됩니다.
• 여기서 $\mu = 72, \sigma = \sqrt{225} = 15$입니다.
• 아버지의 점수: $X = 72 + 1.126 \times 15 \approx 72 + 16.89 = 88.89$
• 시험 점수는 정수로 표시되므로 아버지의 점수는 89점입니다.

2. 2021년 Alex의 점수를 백분위수로 변환하기

• Alex는 89점을 받았습니다.
• 2021년의 평균 점수는 78점이고, 분산은 256입니다.
• 표준 편차는 $\sigma = \sqrt{256} = 16$입니다.
• $z-$점수는$ z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{89 – 78}{16} = \frac{11}{16} \approx 0.6875$입니다.
• 정규 분포표에서 $P(Z \leq 0.6875)$를 찾습니다.
• $P(Z \leq 0.6875) \approx 0.7549$

따라서, 2021년 Alex의 점수 백분위수는 약 75번째 백분위수에 해당합니다.