[해설] 생물학 연구소 변동성 분석: 두 해에 걸쳐 정확히 2회의 변동 발생 확률 계산

안녕하세요! 생물학 연구소 변동성 분석 해설입니다.

문제:두 해에 걸쳐 정확히 2회의 변동 발생 확률 계산

한 생물학 연구소에서 두 해에 걸쳐 특정 종의 개체수가 변동하는 확률을 다음과 같이 모델링합니다:

1. 첫 해에 $( x )$번의 변동이 발생할 확률은 $((0.6)^{x+1})$입니다. 여기서 $( x = 0, 1, 2, \ldots )$.

2. 첫 해에 $( x )$번의 변동이 발생한 후 두 번째 해에 $( y )$번의 변동이 발생할 확률은 아래 표와 같습니다:

$$[ \begin{array}{c|ccccc} \text{Changes in Year 1} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y = 0 & 0.55 & 0.35 & 0.25 & 0.15 & 0.10 \\ y = 1 & 0.30 & 0.30 & 0.35 & 0.25 & 0.20 \\ y = 2 & 0.10 & 0.20 & 0.25 & 0.30 & 0.30 \\ y = 3 & 0.05 & 0.10 & 0.10 & 0.20 & 0.20 \\ y = 4 & 0.00 & 0.05 & 0.05 & 0.10 & 0.20 \\ \end{array}]$$

두 해에 걸쳐 정확히 2회의 변동이 발생할 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

첫 해에 $( x )$번의 변동이 발생하고, 두 번째 해에 $( y )$번의 변동이 발생하는 경우를 고려해야 합니다.

• $x + y = 2$

첫 번째 해에 $( x )$번의 변동이 발생하고 두 번째 해에 $2 – x$ 번의 변동이 발생하는 경우를 각각 계산하여 더해야 합니다.

첫 해에 0번의 변동이 발생하고 두 번째 해에 2번의 변동이 발생하는 경우:

• $P(X = 0) \times P(Y = 2 \mid X = 0)$

• $0.6^{0+1}) \times 0.10 = 0.6 \times 0.10 = 0.06$

첫 해에 1번의 변동이 발생하고 두 번째 해에 1번의 변동이 발생하는 경우:

• $P(X = 1) \times P(Y = 1 \mid X = 1)$

• $(0.6^{1+1}) \times 0.30 = 0.36 \times 0.30 = 0.108$

첫 해에 2번의 변동이 발생하고 두 번째 해에 0번의 변동이 발생하는 경우:

• $P(X = 2) \times P(Y = 0 \mid X = 2)$

• $(0.6^{2+1}) \times 0.25 = 0.216 \times 0.25 = 0.054$

이제 모든 경우의 확률을 더합니다:

• $0.06 + 0.108 + 0.054 = 0.222$

따라서, 두 해에 걸쳐 정확히 2회의 변동이 발생할 확률은 약 0.22입니다.