[해설] 공장 화재 손실 분석: 5년간 화재로 인한 총 손실의 분산 계산

안녕하세요! 공장 화재 손실 분석 해설입니다.

문제:5년간 화재로 인한 총 손실의 분산 계산

한 생명보험 회사가 지급하는 사망 보험금은 지수 분포를 따릅니다. 회사는 공제액 $d$ 를 부과함으로써 예상 지급액을 $20%$ 줄였습니다.

공제액이 적용된 후 사망 보험금 분산의 퍼센트 감소를 계산하세요.

문제 풀이

1. 화재 수 $( N )$: 포아송 분포를 따르며, 평균 $( \lambda = 3 )$.
2.각 화재로 인한 손실 $( X_i )$: 평균 2000의 지수 분포를 따릅니다.

포아송 분포의 성질에 따라 $( N )$의 분산은 평균과 동일합니다:

• $\text{Var}(N) = \lambda = 3$

지수 분포의 성질에 따라 각 손실의 분산은 다음과 같습니다:

• $\text{Var}(X_i) = (\text{평균})^2 = 2000^2 = 4 \times 10^6$

총 손실 $( S )$는 각 화재로 인한 손실의 합으로 표현할 수 있습니다:

• $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_N$

여기서 $( N )$은 포아송 분포를 따르며, 각 $( X_i )$는 지수 분포를 따르고 서로 독립적입니다. 따라서 $( S )$의 분산을 계산하기 위해서는 다음과 같은 성질을 이용해야 합니다:

포아송 분포를 따르는 $( N )$개의 독립적인 확률 변수 $( X_i )$의 합의 분산은 다음과 같이 주어집니다:

• $\text{Var}(S) = E(N) \cdot \text{Var}(X) + (E(X))^2 \cdot \text{Var}(N)$

여기서 $( E(N) = \lambda = 3 )$이고, $( \text{Var}(N) = \lambda = 3 $),$ E(X) = 2000 , \text{Var}(X) = 4 \times 10^6$ 입니다.

이 값을 대입하면:

• $\text{Var}(S) = E(N) \cdot \text{Var}(X) + (E(X))^2 \cdot \text{Var}(N)$
  $\text{Var}(S) = 3 \cdot 4 \times 10^6 + (2000)^2 \cdot 3$
  $\text{Var}(S) = 12 \times 10^6 + 3 \cdot 4 \times 10^6$
  $\text{Var}(S) = 12 \times 10^6 + 12 \times 10^6$
  $\text{Var}(S) = 24 \times 10^6$

따라서, 향후 5년 동안 이 공장에서 발생할 수 있는 화재로 인한 총 손실의 분산은 24,000,000입니다.