[해설] 기계 고장 횟수 확률 분포: 조건부 기계 고장 횟수 기대값 계산

안녕하세요! 기계 고장 횟수 확률 분포 해설입니다.

문제:조건부 기계 고장 횟수 기대값 계산

어느 공장에서 3월과 4월에 발생한 기계 고장 횟수를 각각 $( X_1 )$과 $( X_2 )$로 나타냅니다. $( X_1 )$과 $( X_2 )$의 결합 확률 함수는 다음과 같습니다.

$p(x_1, x_2) = \begin{cases} \frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^{x_1-1} e^{-x_1} \left(1 – e^{-x_1}\right)^{x_2-1}, & x_1 = 1, 2, 3, \ldots, \, x_2 = 1, 2, 3, \ldots \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

3월에 정확히 4번의 기계 고장이 발생했다는 조건 하에, 4월에 발생할 예상 기계 고장 횟수를 계산하십시오.

문제 풀이

주어진 조건에 따라, 3월에 정확히 4번의 기계 고장이 발생했으므로 $( X_1 = 4 )$입니다. 따라서, 우리는 4월에 발생할 기계 고장 횟수 $( X_2 )$의 기대값을 구해야 합니다.

조건부 확률 분포:

• $P(X_2 = x_2 \mid X_1 = 4) = \frac{P(X_1 = 4, X_2 = x_2)}{P(X_1 = 4)}$

주어진 결합 확률 함수로부터 $( X_1 = 4 )$인 경우의 분포를 고려합니다.

• $p(4, x_2) = \frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^{4-1} e^{-4} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1} = \frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^3 e^{-4} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1}$

따라서,

• $P(X_2 = x_2 \mid X_1 = 4) = \frac{p(4, x_2)}{P(X_1 = 4)}$

여기서 $( P(X_1 = 4) )$는 모든 $( x_2 )$에 대해 결합 확률 $( p(4, x_2) )$의 합으로 주어집니다.

• $P(X_1 = 4) = \sum_{x_2=1}^{\infty} p(4, x_2) = \sum_{x_2=1}^{\infty} \frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^3 e^{-4} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1}$

이는 기하급수의 합으로, 기하급수의 성질을 이용하면,

• $\sum_{x_2=1}^{\infty} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1} = \frac{1}{1 – (1 – e^{-4})} = \frac{1}{e^{-4}} = e^4$

따라서,

• $P(X_1 = 4) = \frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^3 e^{-4} \cdot e^4 = \frac{54}{343}$

조건부 확률은 다음과 같습니다.

• $P(X_2 = x_2 \mid X_1 = 4) = \frac{p(4, x_2)}{P(X_1 = 4)} = \frac{\frac{2}{7} \left( \frac{3}{7} \right)^3 e^{-4} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1}}{\frac{54}{343}} = \frac{343}{54} e^{-4} \left(1 – e^{-4}\right)^{x_2-1}$

이제 $( X_2 )$의 기대값을 구합니다.

• $E[X_2 \mid X_1 = 4] = \sum_{x_2=1}^{\infty} x_2 \cdot P(X_2 = x_2 \mid X_1 = 4)$

이는 기하 확률 변수의 기대값 공식으로 계산할 수 있습니다.
기하 분포에서 $( P(X_2 = x_2) = (1-p)^{x_2-1}p )$일 때, 기대값은 $( \frac{1}{p} )$입니다. 여기서 $p = e^{-4} $입니다.

따라서,

• $E[X_2 \mid X_1 = 4] = \frac{1}{e^{-4}} = e^4$

결론적으로, 4월에 발생할 예상 기계 고장 횟수는 $e^4$ 입니다.