[해설] 측정값 평균 예측 연습문제: 반올림된 측정값 평균이 실제 값 평균에서 0.1 이내일 확률 계산

안녕하세요! 측정값 평균 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 반올림된 측정값 평균이 실제 값 평균에서 0.1 이내일 확률 계산

과학 실험 데이터에서, 측정값은 가장 가까운 정수로 반올림되었습니다. 실제 측정값과 반올림된 측정값의 차이는 -0.5에서 0.5까지의 구간에서 균일 분포를 따른다고 가정합니다. 실험 데이터는 60개의 무작위 샘플을 기반으로 합니다.

반올림된 측정값의 평균이 실제 측정값의 평균에서 0.1 이내에 있을 확률을 근사적으로 계산하세요.

문제 풀이

1. 차이의 분포:
실제 측정값과 반올림된 측정값의 차이 $X$는 -0.5에서 0.5까지 균일 분포를 따릅니다. 균일 분포 $X \sim U(-0.5, 0.5)$의 평균과 분산은 다음과 같습니다:

$E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0$

$\text{Var}(X) = \frac{(b – a)^2}{12} = \frac{(0.5 – (-0.5))^2}{12} = \frac{1^2}{12} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$

2. 표본 평균의 분포:

60개의 샘플을 기반으로 하는 경우, 표본 평균 $\bar{X}$의 기대값과 표준 편차는 다음과 같습니다:

$E(\bar{X}) = E(X) = 0$

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X)}{n} = \frac{0.0833}{60} \approx 0.00139$

$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{\text{Var}(\bar{X})} = \sqrt{0.00139} \approx 0.0373$

3. 확률 계산:

반올림된 측정값의 평균이 실제 측정값의 평균에서 0.1 이내에 있을 확률을 계산하기 위해, 표준 정규 분포로 변환합니다:

$P\left(-0.1 \leq \bar{X} \leq 0.1\right) = P\left(\frac{-0.1 – 0}{0.0373} \leq Z \leq \frac{0.1 – 0}{0.0373}\right)$

$= P\left(\frac{-0.1}{0.0373} \leq Z \leq \frac{0.1}{0.0373}\right) = P\left(-2.68 \leq Z \leq 2.68\right)$

표준 정규 분포에서 $P(Z \leq 2.68)$의 값을 찾습니다. Z = 2.68의 누적 분포 함수 값은 약 0.9963입니다.

따라서,

$P\left(-2.68 \leq Z \leq 2.68\right) = P(Z \leq 2.68) – P(Z \leq -2.68) = 0.9963 – (1 – 0.9963) = 0.9963 – 0.0037 = 0.9926$

따라서, 반올림된 측정값의 평균이 실제 측정값의 평균에서 0.1 이내에 있을 확률은 약 0.9926 입니다.