[해설] 직원 업무 시간 예측 연습문제: 총 업무 시간이 270시간 미만일 확률 계산

안녕하세요! 직원 업무 시간 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 총 업무 시간이 270시간 미만일 확률 계산

한 회사에서 직원들이 업무를 위해 전화를 사용하는 시간 (X)와 이메일을 사용하는 시간 (Y)가 각각 다음과 같은 정보를 따릅니다:

$$E(X) = 2, \quad E(Y) = 3, \quad \text{Var}(X) = 1, $$

$$\quad \text{Var}(Y) = 1.5, \quad \text{Cov}(X, Y) = 0.5$$

서로 다른 직원들이 전화를 사용하는 시간과 이메일을 사용하는 시간은 서로 독립적입니다.

50명의 직원들이 무작위로 선택되어 한 달 동안 관찰되었습니다. ($T$)를 이 50명의 직원들이 한 달 동안 전화를 사용하거나 이메일을 사용하는 총 시간이라고 합시다.

$P[T < 270]$의 값을 근사적으로 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

50명의 직원들이 한 달 동안 전화를 사용하거나 이메일을 사용하는 총 시간을 계산하려면 ($T = \sum_{i=1}^{50} (X_i + Y_i)$)를 계산해야 합니다. 여기서 ($X_i$)와 ($Y_i$)는 각각 (i)번째 직원이 전화를 사용한 시간과 이메일을 사용한 시간입니다.

각각의 ($X_i + Y_i$)의 기대값과 분산을 계산합니다.

1. 기대값 계산:

$E(X_i + Y_i) = E(X_i) + E(Y_i) = 2 + 3 = 5$

따라서, ($T$)의 기대값은:

$E(T) = E\left(\sum_{i=1}^{50} (X_i + Y_i)\right) = 50 \times 5 = 250$

2. 분산 계산:

$\text{Var}(X_i + Y_i) = \text{Var}(X_i) + \text{Var}(Y_i) + 2 \cdot \text{Cov}(X_i, Y_i) = 1 + 1.5 + 2 \cdot 0.5 = 3.5$

따라서, (T)의 분산은:

$\text{Var}(T) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^{50} (X_i + Y_i)\right) = 50 \times 3.5 = 175$

3. 정규 분포 근사:

중심 극한 정리에 의해 ($T$)는 정규 분포로 근사할 수 있습니다. ($T \sim N(250, \sqrt{175}^2)$)

4. ($P(T < 270)$) 계산:

정규 분포에서 ($T$)가 270보다 작은 확률을 계산합니다. 이를 위해 Z-값을 계산합니다:

$Z = \frac{270 – 250}{\sqrt{175}} = \frac{20}{\sqrt{175}} \approx \frac{20}{13.23} \approx 1.51$

표준 정규 분포에서 (Z = 1.51)에 해당하는 누적 분포 함수 값 (CDF)은 약 0.9345입니다.

따라서,

$P(T < 270) \approx 0.9345$

따라서, $P[T < 270]$의 근사값은 0.93 입니다.