[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 생쥐 수명 분석 연습문제: 생쥐 수명의 분위수 차이 계산

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 생쥐 수명 분석 연습문제 해설입니다.

문제: 생쥐 수명의 분위수 차이 계산

한 연구소에서 생쥐의 수명 $L$은 다음과 같은 밀도 함수를 가진 랜덤 변수입니다:

$f(l) =\begin{cases}\frac{4(50)^{4}}{l^{5}}, & l > 50 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$

$ L $의 25번째 백분위수와 75번째 백분위수의 차이를 계산하시오.(소수 첫째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1.누적 분포 함수 (CDF) 계산:
주어진 밀도 함수로부터 누적 분포 함수를 계산합니다.

$F(l) = \int_{50}^l f(t) \, dt = \int_{50}^l \frac{4(50)^4}{t^{5}} \, dt$

적분을 계산하면:

$ F(l) = 4 \cdot (50)^4 \int_{50}^l t^{-5} \, dt$

$= 4 \cdot (50)^4 \left[ \frac{t^{-4}}{-4} \right]{50}^l$

$= (50)^4 \left[ \frac{-1}{t^4} \right]{50}^l$

$= 1 – \left( \frac{50}{l} \right)^4$

따라서 누적 분포 함수는:

$F(l) = 1 – \left( \frac{50}{l} \right)^4$

2. 백분위수 계산:

25번째 백분위수 $ l_{25} $는 $ F(l_{25}) = 0.25 $을 만족합니다.

$0.25 = 1 – \left( \frac{50}{l_{25}} \right)^4$

$\left( \frac{50}{l_{25}} \right)^4 = 0.75$

$\frac{50}{l_{25}} = 0.75^{\frac{1}{4}}$

$l_{25} = \frac{50}{0.75^{\frac{1}{4}}}$

75번째 백분위수 $ l_{75}$는 $ F(l_{75}) = 0.75 $을 만족합니다.

$0.75 = 1 – \left( \frac{50}{l_{75}} \right)^4$

$\left( \frac{50}{l_{75}} \right)^4 = 0.25$

$\frac{50}{l_{75}} = 0.25^{\frac{1}{4}}$

$l_{75} = \frac{50}{0.25^{\frac{1}{4}}}$

3. 차이 계산:

$l_{75} – l_{25} = \frac{50}{0.25^{\frac{1}{4}}} – \frac{50}{0.75^{\frac{1}{4}}}$

이 값들을 계산하면:

$0.25^{\frac{1}{4}} \approx 0.7071 \quad \text{and} \quad 0.75^{\frac{1}{4}} \approx 0.9306$

$l_{25} = \frac{50}{0.9306} \approx 53.73$

$l_{75} = \frac{50}{0.7071} \approx 70.71$

$l_{75} – l_{25} \approx 70.71 – 53.73 = 16.98 \approx 17$

따라서, $ l_{75} $와 $l_{25}$ 의 차이는 약 17입니다.