[해설] 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 학습 프로그램 완료 학생 수의 확률 분석

안녕하세요! 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:학습 프로그램 완료 학생 수의 확률 분석

두 개의 독립적인 학급의 10명의 학생들이 1년 동안 진행되는 학습 프로그램에 참여하고 있습니다. 학생들은 다른 학생들과 독립적으로 학습 프로그램을 완료하지 못할 확률이 0.2입니다.

두 학급 중 하나의 학급에서 9명 이상이 학습 프로그램을 완료하지만, 다른 학급에서는 그렇지 않을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 변수 정의:

각 학급에서 9명 이상이 학습 프로그램을 완료할 확률을 계산해야 합니다. 학습 프로그램을 완료할 확률은 (0.8)입니다.

2.이항 분포 사용:

각 학생이 학습 프로그램을 완료할 확률은 독립적이므로, 각 학급에서 9명 이상이 학습 프로그램을 완료할 확률을 이항 분포를 사용하여 계산합니다. 성공 확률 $(p = 0.8)$, 실패 확률 $(q = 0.2)$입니다.

3. 적어도 9명이 학습 프로그램을 완료할 확률 계산:

$(P(X \geq 9))$는 $(P(X = 9) + P(X = 10))$입니다. 여기서 $(X)$는 10명 중 학습 프로그램을 완료한 사람 수를 나타냅니다.

• $P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.8)^9 (0.2)^1 = 10 \cdot (0.8)^9 \cdot 0.2$
• $P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.8)^{10} (0.2)^0 = (0.8)^{10}$

계산하면:

• $P(X = 9) = 10 \cdot 0.134217728 \cdot 0.2 = 0.268435456$
• $P(X = 10) = 0.1073741824$

따라서:

• $P(X \geq 9) = 0.268435456 + 0.1073741824 = 0.3758096384 \approx 0.376$

4.두 학급 중 하나에서만 9명 이상이 학습 프로그램을 완료할 확률:

두 학급에서 한 학급은 9명 이상이 학습 프로그램을 완료하고 다른 학급은 그렇지 않을 확률은 두 경우의 합입니다.

한 학급에서 9명 이상이 완료할 확률은 0.376이고, 다른 학급에서 9명 미만이 완료할 확률은 1 – 0.376 = 0.624입니다.

따라서, 두 경우는:

• $P(${한 학급만 9명 이상 완료}$) = 2 \cdot (0.376 \cdot 0.624)$

계산하면:

• $P(${한 학급만 9명 이상 완료}$) = 2 \cdot 0.376 \cdot 0.624 = 2 \cdot 0.234624 = 0.469248 \approx 0.469$

따라서, 정답은 0.469입니다.